ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Асимптотический метод больших Л решения интегральных уравнеТочное решение некоторых интегральных уравнений из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " Многие смешанные задачи теории упругости для областей конечных размеров (прямоугольник, цилиндр, усеченный клин, усеченный конус, кольцевой сектор, сектор шарового слоя и др.) сводятся к исследованию парных рядов-уравнений по какой-либо полной системе ортонормированных с весом функций, порожденных соответствующей задачей Штурма-Лиувилля на конечном интервале. [c.28] Не нарушая общности будем считать, что /(ж) = y is,x), имея в виду, что в общем виде функция /(ж) может быть представлена рядом по функциям y uk,x). [c.29] Как известно [191, 210], функции y uk,x) составляют при же е [0,Ь] полную ортогональную с весом г (ж) систему функций. Будем считать, что эти функции нормированы с тем же весом так, что у = = 1. [c.29] Здесь 7] и,х) — является решением уравнения (1.2), линейно независимым с у и, х). [c.30] В частных случаях при рассмотрении конкретных задач, связанных с определенной системой координат, функциями y uk,x) и г] и,х) являются либо тригонометрические функции, либо функции Бесселя, либо функции Лежандра, либо другие известные специальные функции. [c.30] Таким образом решение парных рядов-уравнений (1.1) сводится к решению систем бесконечных линейных алгебраических уравнений (1.6)-(1.8) с сингулярной матрицей коэффициентов. Заметим, что в работах [50-53] и др. использован другой подход сведения отдельных интегральных уравнений, эквивалентных парным уравнениям типа (1.1), к системам линейных алгебраических уравнений такого же вида. [c.30] Как показывает опыт, погрешность решения соответствуюш,их задач после замены системы (1.6) системой (1.22) будет тем меньше, чем больше значение N. [c.34] Получение теоретических оценок сходимости метода связано с большими трудностями, поэтому эффективность его продемонстрируем на задаче теории упругости со смешанными граничными условиями, имеющей точное решение. [c.34] Рассмотрим задачу теории упругости о чистом сдвиге вдоль образующей штампом упругого бруса бесконечной длины с прямоугольным сечением [336]. Предполагается, что между штампом, симметрично расположенным на одной из граней бруса, и брусом осуществляется полное сцепление, при этом противоположная грань бруса неподвижна, а боковые грани свободны от напряжений. [c.34] Такая задача отражает все особенности других более сложных задач, если для их решения использовать метод сведения парных рядов к бесконечным системам с сингулярной матрицей. [c.34] Здесь h — высота прямоугольника, 26 — его ширина, 2а — ширина штампа. Элементы матриц и правой части бесконечной системы (1.6) описаны в работе [10]. [c.34] Ряд в (1.26) при О ж о сходится как бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, при х — а он расходится, но главную часть ряда в окрестности х — а легко просуммировать и тем самым выделить особенность в поведении напряжений при ж — а. [c.35] Поставленная здесь задача имеет точное решение [42, 168. [c.35] В табл. 1.1 приведены величины Т = Т Ю , q = q 0,9) 0 и Kq — iiTQ 10 при (3 — 00, значениях Л = 5, Л = 10 и некоторых значениях N. В последней строке таблицы представлены значения этих же величин, вычисленные по точным соотношениям работ [42, 168. Видно, что решение задачи по предложенной схеме может быть эффективно получено с небольшими затратами при Л 10. Увеличивая число уравнений в системе (1.22), решение задачи можно получить практически при любых значениях параметров. [c.36] Среди асимптотических методов исследования интегральных уравнений теории смешанных задач широкое распространение получил метод больших Л ([14, 24, 88, 99, 101, 201, 308, 309, 325] и др.), когда решение интегральных уравнений представлено в форме асимптотического разложения по отрицательным степеням некоторого безразмерного параметра Л. Как правило, удавалось построить лишь несколько членов такого асимптотического разложения. [c.36] Аналогичным образом для больших Л может быть построено решение уравнения (1.30), (1.31) в случае, когда g t) т — любое натуральное число), а также в случае когда g t) представимо в виде ряда по положительным степеням аргумента t. [c.38] Последний ряд абсолютно сходится при у уо, следовательно, аналогичный ряд для функции F t — т)/Х) при t 1, г 1 будет сходиться, если Л 2/уо. [c.39] ЧТО все искомые величины, связанные с решением интегрального уравнения (1.43), выражены через элементарные функции. В решении фигурируют постоянные Ф и Qo, представимые в виде интегралов от f t). В случае, когда f t) — многочлен, эти интегралы берутся в явном виде. [c.43] Из условия сходимости ряда (1.44) получаем, что решение интегрального уравнения (1.43) изложенным методом может быть получено при Л 2/уо, где уо — радиус сходимости ряда в (1.44). [c.43] Величина Nq определяется подстановкой решения (1.64) в уравнение (1.57). [c.45] Вернуться к основной статье