ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Старое приближенное решение А. Фепаля из "Сила и деформация Прикладная теория упрогости Том2 " В зависимости от постановки задачи температура или задается непосредственно в виде функции от л и г, или же она определяется из других условий по законам теплопроводноеги, данным Фурье. Но во всяком случае это определение производится совершенно независимо от определения напряжений, и мы будем считать, что температура уже определена, та с что в дальнейшем под t нужно понимать известную функцию от л и л При постоянном t формулы (21) снова переходят в формулы (9) и (10), данные в 80, как и должно быть. [c.271] Общее решение уравнений (21) можно, конечно, найти так же, как оно найдено и в седьмой главе. Но мы вынуждены будем ограничиться рассмотрением лишь некоторых случаев, заслуживающих внимания. Олин случай такого рода, особенно важный для практического применения, мы и рассмотрим в следующем параграфе. [c.271] Обозначим внутренний радиус трубы через г., наружный через и радиус средней окружности, делящей толщину стенки h пополам, через г как это показано на чертеже поперечного сечения на фиг. 121. Температуры на внутренней и на наружной поверхностях мы будем считать заданными тогда температура в какой-либо точке, имеющей радиус г, на основании закона теплопроводности будет выражаться логарифмической функцией от г. [c.271] В общем случае и могли бы еще зависеть и от х, следовательно, они в разных сечениях могли бы иметь раз ше величины. Но мы сейчас ограничимся исследованием простейшего случая, когда t не зависит от х. [c.271] Таким же образом можно вычислить напряжение полагая г = г , т. е. у наружной поверхности стенки трубы мы найдем там напряжение такой же величины, но с противоположным знаком. [c.273] Чтобы найденное решение всегда имело место, необходимо, чтобы на свободных концевых сечениях были приложены растягивающие и сжимающие внешние силы, соответствующие только что вычисленным нормальным напряжениям Од. На фиг. 122, изображающей осевое сечение трубы вблизи одного из концов ее, направления этих внешних сил, действующих на концевое сечение, указаны стрелками. Здесь предположено, что т. е. [c.274] В пределах той точности, которой мы до сих пор довольствовались, напряжения и соответствующие им внешние силы, действующие на концевое сечение, будут рас гределены по толщине стенки h по закону прямой линии, так что по средине толщины стенки они будут равны нулю. Отсюда В1 1текает, что в пределах той же точности сумму растягивающих внешних сил, действующих на концевое сечение, можно приравнять сумме сжимающих внешних сил, так что все внешние силы, действующие на концевое сечение, образуют уравновешенную систему сил в смысле статики абсолютно твердого тела. [c.274] Конечно, найти совершенно точные формулы для напряжений и деформаций, создаваемых одними внешними силами, приложенными к концам трубы, нелегко. Но они нам и не нужны и, по крайней мере, для практических целей являются совершенно лишними. Мы можем разными способами при помощи упрощающих предположений притти к хорошим приближенным формулам с достаточной гарантией за удовлетворительную точность. [c.275] Когда А. Феппль в первый раз занялся этим вопросом, то он нашел приближенное решение на основании сравнения рассматриваемой задачи с известной из элементарного курса сопротивления материалов теорией изгиба балки, лежащей на упругом основании (теория верхнего строения железнодорожного пути), и поместил это решение в пятом томе своего курса Технической механики ( Vorlesungen... ). Здесь мы выберем другой путь, который, однако, приведет к совершенно аналогичным результатам. [c.275] Именно, сперва мы зададимся, как это уже часто делали в этой книге, напряжениями, строго удовлетворяющими всем требованиям статики для рассматриваемого случая нагрузки и одновременно условию, чтобы напряжения с увеличением расстояния от нагруженного конца трубы быстро уменьшались. Формулы для этих напряжений мы возьмем наиболее простыми, но так, чтобы в них входили два параметра. Тогда определение этих параметров на основании теоремы о минимуме энергии деформации будет нам гарантировать, что полученное решение не может дать напряжений, слишком отличающихся от действительных. [c.275] Вспомним те уравнения равновесия, которые связывают напряжения, действующие на элемент объема, и которые были нами составлены в седьмой главе перепишем их теперь еще раз в форме уравнений (4) 80. [c.275] Хотя постоянная интегрирования X и является постоянной по отношению к г, но она может еще зависеть и от х. Так как, однако, в сечении л = 0 внешние касательные силы не действуют и первый член предыдущего выражения при л = 0 сам собою обращается в нуль, то, для того чтобы удовлетворялось рассматриваемое граничное условие, мы при л =0 должны также положить и Х=0. Однако вообще нам величина X не нужна вовсе, поэтому мы можем ее в рассматриваемом выражении совсем вычеркнуть. [c.276] Изменение знака в сравнении с формулой (26) было обосновано при составлении формулы (28). [c.277] Кого такое доказательство не удовлетворяет, тот может, конечно, от соответствующего упрощения вычислений отказаться. Действительно, затратив большое количество труда, мы могли бы получить и более точные реяультаты. Но для нас очень высокая точность формул здесь не имеет значения важнее для нас возможно большая наглядность хода вычислений, а последняя лучше всего достигается путем упрощения, связанного с вычеркиванием в выражении удельной работы упругих сил А напряжений а,, и т. [c.278] Поэтому при /й = 4 повышение наибольшего напряжения, получающегося в удаленных частях трубы, составляет 25 /о- При от = 3 этот процент еще увеличивается, но лишь при т = 2 он поднялся бы до 507 . [c.281] После нахождения напряжений можно определить и относительные удлинения Sj., е , е а затем по третьей из формул (18) получить также и перемещение р, выраженное в зависимости от х, что и определит деформацию трубы вследствие нагревания. От дальнейших вычислений мы здесь вынуждены отказаться. [c.282] Вернуться к основной статье