ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сечения симметрично нагруженного тела вращения в общем случае не остаются плоскими из "Сила и деформация Прикладная теория упрогости Том2 " В 30 мы подробно показали, что гипотезы, принимаемые в теории изгиба пластинки, не достаточны, чтобы определить наибольшие нор мальные напряжения, создаваемые действием сосредоточенной силы. Чтобы определить эти напряжения, вырежем из пластинки вокруг точки приложения сосредоточенной силы цилиндр, радиус которого Ь представляет величину того же порядка, что и Л, и рассмотрим равновесие этого цилиндра. К внутренним точкам цилиндра теория изгиба неприложима, так как предположения, из которых она исходит, в этих точках удовлетворяются не вполне. Этот цилиндр был начерчен на фиг. 25 на стр. 223 в первом томе, здесь мы перепечатываем этот чертеж еще раз. [c.163] И наша задача будет в сущности уже решена. [c.170] По формулам (52) легко можно вычислить и другие напряжения. Что они в предельном случае п—оо могут получиться даже бесконечно большими, этому удивля1ься не следует. Но нужно иметь в виду, что это относится только к а, другие же напряжения и х во всех точках значительно меньше наибольшего значения при г—О и х — — у ). [c.171] Последний член в скобках, происходящий от нарастания напряжений в цилиндре, выделенном из пластинки, в направлении от бокоюй поверхности его к центру, имеет значительную величин и при обычно принимаемом значении Ь безусловно того же порядка, что и первый член. Ко во всяком случае у тонкой плиты (пластинки), к которой эта теория только и относится, он меньше первого члена, так что о значительном повышении напряжений в направлении к центру, как эюго можно было бы ожидать по формулам обыкновенной теории изгиба пластинки, не может быть и речи. [c.171] Таким образом при предположениях, сделанных для упрощения вычислений, цель, поставленную нами здесь, можно считать достигнутой. [c.171] Эта формула и формула (62) для S полностью решают поставленную задачу, если не считать пока неизвестных постоянных интегрирования а , а.,, и А. Теперь ответим на вопрос, для каких граничных условий это решение подходит. [c.174] В частности, если положить а = аз = 0 и а = —тА, то все напряжения кроме Gjj обращаются в нуль, и мы получаем одноосное однородное напряженное состояние, какое получается в цилиндре с равномерно распределенной по основаниям нагрузкой, если цилиндрическая поверхность остается свободной от действия сил. Если же положить а =аз = 0 и = А, то мы получим такое же однородное напряженное состояние с тремя одинаковыми главными напряжениями, какое получается в теле, нагруженном всесторонним постоянным давлением. [c.174] Этот результат важен главным образом потому, что в технике, вообще говоря, имеется тенденция во всех не типовых расчетах на прочность, для которых подходящего образца нет, исходить из упрощенного предположения о сохранении поперечными сечениями тела плоской формы при деформации. Это предположение часто является неверным и оно неверие, как мы только что доказали, и в общем случае тел вращения. [c.175] В связи с предыдущим мы укажем еще на две задачи, не имеющие пока решений, но рекомендуемые нами вниманию тех читателей, которые захотели бы заняться самостоятельными теоретическими исследованиями в этой области. Фиг. 104 изображает тело вращения, имеющее форму бочки, боковая поверхность которого свободна от действия внешних сил и оба основания нагружены произвольным образом, но симметрично относительно оси. Из равновесия элемента объема, расположенного у контура основания, получается, что поверхностное давление на торец у контура основания не может быть совершенно произвольно направленным,а оно во всяком случае должно итти в направлении касательной к образующей линии. В качестве образующей можно взять или дугу параболы, или синусоиду, или же какую-либо другую подходящую кривую. Образующая линия будет совпадать с одной из траекторий напряжений, а остальные траектории напряжений, из которых некоторые нанесены на чертеже, во всяком случае пойдут, примерно, как крайние. Если бы и не удалось найти точное решение задачи, которое, конечно, было бы желательно найти в первую очередь, то можно было бы на основании этих соображений, попытаться составить приближенное решение аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. В рассматриваемой области теории упругости нужно еще так много сделать, что даже нахождение решения для некоторых задач этого типа уже представляло бы большой прогресс и помогло бы решению других аналогичных задач ). [c.175] Еще важнее, но, конечно, и значительно труднее, другая задача, которую поясняет фнг. 105. Здесь тело вращения имеет вид голоржи болта. Длину стержня можно считать произвольной, причем в сечении, расположенном на большом расстоянии кверху от головки, пусть действует равномерно рас феделенная по сечению нагрузка р. На боковой поверхности нижнего цилиндра, заменяющего головку болта, пусть приложены симметрично распределенные касательные силы, дающие в сумме растягивающую нагрузку Р=т а р. Закон распределения сил на этой поверхности не имеет существенного значения, так что в случае необходимости, можно было бы условия изменить. [c.176] Пусть переход от нижнего цилинда радиуса Ь к верхнему радиуса а сделан при помощи закругления радиуса ы. Основная задача заключается в определении вблизи закругления напряжений, величина которых во всяком случае весьма существенно зависит от радиуса и. Решение этой задачи имеет настолько важное значение, что даже приближенное решение представило бы весьма ценный вклад в теорию упругости, хотя, конечно, точное или даже полуприближенное решение заслуживало бы предпочтения. [c.176] Вернуться к основной статье