ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Связь теоремы Стокса с аналогией Прандтля из "Сила и деформация Прикладная теория упрогости Том2 " Вообще говоря, задачу о кручении стержня с полым сечением решить труднее, чем в случае сплошного сечения, так как при этом должны быть выполнены еще граничные условия на внутреннем контуре, ограничивающем полость. Лишь в том случае, если внутренний контур совпадает с траекторией касательных напряжений сплошного сечения с одинаковым наружным контуром, эта лишняя трудность отпадает, и решение задачи можно получить непосредственно из решения для сплошного сечения. Об этом уже была речь раньше, и в 65 были выведены формулы для круглого и эллиптического полых сечений, в случае которых указанное предположение выполняется. Во всех же других случаях и даже в случае полого сечения, ограниченного и внутри и снаружи кругами, но расположенными эксцентрично, задача о кручении становится много сложнее, чем для соответствующего сплошного сечения.. [c.87] Сперва мы сообразим, как изменится аналогия Прандтля при обобщении ее на случай полого сечения. Представим себе, что мыльным пузырем затянуто отверстие, соответствующее сплошному контуру. Срежем верхнюю часть пузыря горизонтальной плоскостью и наложим на нижнюю часть пузыря пластинку соответствующей формы. Нижняя часть мыльной пленки пристанет к краям этой пластинки так же, как она соединялась раньше с верхней удаленной частью пленки. При сохранении пластинкой своего положения условия, в которых находится нижняя часть пленки, не изменятся, и она попрежнему останется в равновесии. Если пластинку, так же как и мыльную пленку, считать невесомой, то она также будет оставаться в равновесии. Это доказывается следующими соображениями. К пластинке будут приложены в сущности те же внешние силы, которые раньше удерживали в равновесии верхнюю часть пленки, так как очевидно, что давление воздуха на площадь пластинки статически эквивалентно давлению воздуха на внутреннюю поверхность верхней части мыльного пузыря это можно обнаружить непосредственно, рассмотрев равновесие объема воздуха, заключающегося между обеими упомянутыми поверхностями. [c.87] Производя опыт, высоту h можно в известных пределах выбирать произвольной но при этом не следует упускать из виду предположения, лежащего в основании всей аналогии, что уклон поверхности мыльной пленки во всех точках должен быть достаточно малым, чтобы тангенс угла наклона можно было без большой ошибки заменить через синус, как это сделано при выводе диференциального уравнения (44). Если это предположение выполнено, то изменение высоты h пластинки над стенкою сосуда будет иметь следствием лишь изменение масштаба k. [c.88] До сих пор все здесь было просто и понятно, но, к сожалению, вся эта теория применима лишь к тому простому случаю, когда расчетные формулы для полого сечения заключаются уже в формулах для сплошного сечения, именно к случаю, когда внутренний контур полого сечения совпадает с одной из траекторий касательных напряжений сплошного сечения. Можно показать, что аналогия Прандтля может быть подробным же образом проведена и в самом общем случае полого сечения с совершенно произвольным внутренним контуром. Однако в этом случае дело будет обстоять значительно сложнее, так что рассчитывать на решение задачи опытным путем из-за встречающихся трудностей нельзя. Тем не менее и в этих случаях аналогия сохраняет значение, по крайней мере, в том отношении, что она дает наглядную иллюстрацию задачи, которую можно с успехом применить для приближенной оценки напряжений. [c.88] Вернуться к основной статье