ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гранично-временные интегральные уравнения для основных нестационарных краевых задач из "Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела " Построение граннчных уравнений для рассматриваемых задач может осуществляться как в рамках прямой, так и непрямой формулировок. В рамках прямой формулировки используется формула представления перемещений (1.34). При использовании непрямой формулировки применяются потенциалы (1.37) или (1.38) (или их комбинации) с плотностями, не имеющими прямого физического смысла. [c.118] В отличие от статики граничные уравнения, получаемые на основе граничных свойств нестационарных потенциалов, являются гранично-временными интегральными уравнениями (ГВИУ). [c.118] Ниже рассматривается случай однородного тела, для которого в 2, 3 были получены фундаментальные решения, а в 4 исследованы граничные свойства потенциалов. Предполагается, что Г — регулярная граница класса а 0. [c.118] Входящие в (5.4) граничные интегралы являются сингулярными Б отличие от регулярных интегралов в (5.3). [c.118] Интегральные операторы в (5.11) и (5.12) с точностью до знака совпадают с интегральными операторами в левых частях соответственно уравнениям (5.8) и (5.9). [c.120] Уравнение (5.20), в отличие от проекции на нормаль п(х) уравнения (5.18), является относительно pn(x,t) интегральным уравнением второго рода. [c.122] Теорема 5.1. Пусть Г— компактная граница класса С/ - о 0, и t 0. Тогда билинейная форма (Кф, положительно определена в Х (Г, t ). [c.125] Результаты предыдущего пункта обеспечивают единственность решений (в соответствующих классах вектор-функций) уравнений с операторами К, М и Z. Осталось рассмотреть уравнения с операторами П, /+Р. Заметим, что П = Л, Р=—Л при Г = Г и П=—Л, Р—при Р=Г. Поэтому достаточно исследовать единственность решения уравнений с операторами — У—П и /- -Р. [c.127] Пусть в бесконечной упругой среде распространяется волна, заданная полем перемещений Ua x,t). Если в среде имеется внутренняя граница Г, то взаимодействие волны щ с этой границей вызывает возмущенное поле перемещений Ut x,t), такое, что поле перемещений в среде вне Г есть сумма ыо и и. Задача исследования дифракции упругой волны uo на Г состоит в нахождении Ьозмущенного поля Ut x,t) или суммарного поля u x,t) по заданному полю перемещений uo x,t) падающей волны и граничным условиям на Г. Уточним постановку задачи. [c.128] Дифракция плоской волны. Пусть падающая волна является плоской волной, т. е. [c.130] При этом предполагается, что выполнены условия симметрии (1.2.10) для тензора функций релаксации, а также условия равенства нулю функций aij x,t), eij x,t), Ui(x,t) при t 0 и функций GijKi(x,t,T) при t T. [c.131] Оператор A(V, ) назовем оператором вязкоупругого равновесия. Для построения общих решений линейных уравнений механики деформируемого твердого тела важную роль, как было показано в предыдущих главах для задач теории упругости, играют соотношения взаимности, связывающие два произвольных поля перемещений в данном теле. [c.131] Для нестабильной среды эти соотношения взаимности, как отмечено в [133]. не выполняются. Однако имеют место их aHaj orH [166, 174], которые (Троятся ниже. [c.131] Будем считать, что тензор функций релаксации Оцга (x,t,x) определен во всем пространстве R . Соответствующее безграничное вязкоупругое тело обозначим через В . Сопряженное ему в момент времени t тело обозначим через В оо. [c.134] Для однородной среды, как следует нз результатов 2, условия (1.17) и (1.18) выполняются. [c.135] Для доказательства этого утверждения рассмотрим вначале случай, когда область Q является конечной областью. Тогда вектор g(t) можно трактовать как вектор жесткого перемещения вязкоупругого тела, занимающего область Q. Этому вектору перемещений соответствуют нулевые объемные и поверхностные силы, в связи с чем формула (1.36) при o q=1 является следствием формулы представления перемещений (1.20). Пусть теперь Q — бесконечная область с конечной границей Г, представляющей собой конечную совокупность замкнутых поверхностей Гк. При этом Q=—1. Поверхности как части границы Г ориентированы противоположно своим внутренним конечным областям Q . Пусть J eQ+. Тогда точка х являёгся внешней к Гк при всех к. Следовательно, интеграл в (1.36) по каждой поверхности Г равен нулю. [c.137] Пусть теперь J eQ . Тогда точка х принадлежит одной из облас--те й Qk и не принадлежит остальным. Поэтому левая часть (1.36) равна g t). Таким образом формула (1.36) справедлива и при Q=—1. Доказательство для случая полубесконечной области типа полупространства (когда ап=0) проводится аналогично 1 главы 2 путем разбиения области й на две части окружностью достаточно большого радиуса. [c.138] Вернуться к основной статье