ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решения двумерных задач за последнюю треть XIX века из "История науки о сопротивлении материалов " За последние десятилетия XIX века крупных успехов удалось достигнуть в решении двумерных задач теории упругости. Существуют два типа таких задач. Если тонкая пластинка подвергается действию сил, приложенных по ее краю, в ее срединной плоскости (которую мы совмещаем с плоскостью ху), то компоненты о., и Ху, напряжения по обеим граням пластинки обращаются в hj jil, и тогда, не делая большой погрешности, мы вправе допустить, что эти компоненты равны нулю также и по всей толщине пластинки. В подобных случаях мы имеем дело с (обобщенным) плоским напряженным состоянием. Другого рода двумерная задача возникает, если длинное цилиндрическое или призматическое тело нагружено распределенными силами, интенсивность которых не меняется по длине цилиндра. В такой системе участок тела, отстоящий на значительном расстоянии от концов цилиндра, испытывает, по существу, плоскую деформацию, т. с. перемещения при деформировании происходят лишь в плоскостях, перпендикулярных к оси цилиндра (которую мы совмещаем с осью z). В этом случае обращаются в нуль компоненты деформации г., и Ууг нам достаточно рассматривать лишь три компоненты деформации s , и Такое состояние упругого тела называется плоской деформацией. [c.418] В задачах как того, так и другого типа число неизвестных снижается, как мы видим, с шести до трех. Это обстоятельство, конечно, упрощает решение. [c.419] Клебш первый занялся исследованием задачи плоского напряженного состояния и дал решение для круглой пластинки (см. с тр. 310). Другой случай, имеющий большое практическое значе-лие, был решен Харлампием Сергеевичем Головиным (1844— 1904) ). Он заинтересовался деформациями и напряжениями круговых арок постоянной толщины. Рассматривая задачу как двумерную, он сумел получить решения для систем, представленных на рис. 170. Он находит, что в условиях чистого изгиба (рис. 170, а) поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и принимается в элементарной теории кривого бруса. Но найденное им распределение напряжений не совпадает с тем, которое дается элементарной теорией, поскольку последняя предполагает, что продольные волокна испытывают лишь напряжение о, простого растяжения или сжатия, между тем как Головин доказывает существование также и напряжений а , действующих в радиальном направлении. При изгибе же, производимом силой Р, приложенной к торцу (рис. 170, б), в Киждом поперечном сечении возникают не только нормальные напряжения, но также и касательные, причем распределение последних не следует параболическому закону, как это предполагается в элементарной теории. Головин вычисляет не только напряжения для такого кривого бруса, но также и его перемещения. Имея формулы перемещений, он получает возможность решить и статически неопределенную задачу арки с защемленными пятами. Проделанные им вычисления для обычных соотношений размеров арок показывают, что точность элементарной теории должна быть признана для практических целей вполне достаточной. Исследования Головина представляют собой первую попытку применения теории упругости в изучении напряжений в арках. [c.419] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ЗА ПОСЛЕДНЮЮ ТРЕТЬ XIX В. [c.420] Налагая эти напряжения на радиальные сжимающие напряжения в полубесконечной пластинке, Вильсон получил результаты своих оптических испытаний с удовлетворительной точностью. [c.421] С другим примером использования оптического метода в измерении напряжений мы встречаемся в работе Менаже (M snager) ), который произвел проверку радиального распределения напряжений в пластинке под действием на нее сил, приложенных в ее срединной плоскости. Таким образом, мы видим, что уже в конце XIX века инженеры начали признавать ценность оптического метода исследования напряжений. Первые годы XX века были ознаменованы быстрым ростом его применений, ныне же этот метод стал одним из самых эффективных средств экспериментального исследования напряжений. [c.421] Дальнейшее раэвитие теоретической разработки двумерных задач основывается на применении функции напряжений. Как мы уже знаем (стр. 273), эта функция была введена впервые Эйри, воспользовавшимся ею в своем исследовании изгиба прямоугольных балок. Эйри выбрал свою функцию напряжений так, чтобы удовлетворялись граничные условия но он упустил из вида то обстоятельство, что она должна удовлетворять также и условию совместности, установленному Сен-Венаном. Максвелл в своей работе О взаимных фигурах, стержневых системах и диаграммах сил ) исправил ошибку Эйри и дал для функции напряжений дифференциальное уравнение. Он показал также, что при отсутствии объемных сил для обоих типов двумерных задач получаются тождественные уравнения и что распределение напряжений не зависит от упругих достоянных материала. [c.421] Рассматривая напряжения, вызываемые в круглом диске сосредоточенными нагрузками, приложенными по контуру, Мичелл получает то же самое решение, которое было найдено до него Герцем (см. стр. 416). Далее он переходит к соответствующим решениям для тяжелого диска или катка на горизонтальной плоскости. В работе Мичелла приводится также ряд интересных диаграмм, иллюстрирующих различные типы распределения напряжений S круглых пластинках ). [c.422] Вернуться к основной статье