ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоская задача теории упругости. Толстостенные трубы и вращающиеся валы из "Введение в теорию упругости для инженеров и физиков " Вместе с тем существует важный класс задач, точные решения которых можно получить с помощью относительно простой теории. Рассмотрим очень длинный цилиндр из однородного и изотропного материала, поперечное сечение которого имеет какую-нибудь заданную форму. Пусть деформации в теле вызываются массовыми силами или напряжениями, приложенными к его боковой поверхности (поверхностными напряжениями). Допустим, что действующие силы или напряжения всюду направлены перпендикулярно оси цилиндра, и их величина не зависит от расстояния по оси, т. е. мы допускаем, что их величины и направления не меняются от сечения к сечению. В таком случае во всем цилиндре, за исключением, может быть, областей, лежащих непосредственно около его концов, деформации, согласно условию минимума упругой энергии (гл. III, 92), также не будут зависеть от расстояния по оси. Тело после деформации останется цилиндрическим, а плоские поперечные сечения останутся плоскими. Деформация, обладающая такими свойствами, называется плоской деформацией. [c.480] Уравнения (2) записываются в следующей форме д / д /. [c.482] Этому уравнению, в случае плоской деформации, и должна удовлетворять функция напряжений X. [c.483] Деформации теперь подчинены новым условиям, и мы не можем предполагать, что функция X удовлетворяет тому же уравнению (8). [c.484] Последнее равенство имеет место в силу формулы (14). [c.486] Последнее равенство имеет место в силу (15). [c.487] Однако это замечание не обесценивает наши результаты. На самом деле мы можем привлечь принцип Сен-Венана и с его помощью показать, что напряженное состояние в удаленных от краев пластинки частях определяется результирующим усилием на каком-нибудь из элементов края, а не точным распределением усилий по малой толщине пластинки на краю. Различные распределения усилий по краям в их непосредственной близости вызывают различные напряжения, однако на некотором расстоянии от края (большем, чем двойная или тройная толщина пластинки) эта разница становится неощутимой. Более того, члены с z в компонентах напряжения дадут члены с А в результирующем усилии, и влияние последних будет крайне мало, если пластинка достаточно тонкая. [c.488] Ниже мы рассмотрим только те задачи, в которых задаются граничные напряжения. [c.489] Осталось, конечно, исследовать вопрос о том, до какой степени мы расширили область применения нашей теории тем, что ослабили требование относительно Л г и и в то же время оставили требование относительно Z , которое имело место в обычной теории пло СКОРО напряженного состояния ). [c.491] Такое измерение проводят, пропуская вышедшие из материала лучи через призму Николя ( анализатор ). Через нее могут проходить только те компоненты, которые колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению входящего луча. Поэтому интенсивность Света, прошедшего через анализатор, является, в конце концов, функцией разности фаз, которая обращается в нуль при разности фаз, кратной 2л. Таким образом будут полностью затемнены те места, где разность напряжений равна или нулю, или некоторому определенному (зависящему от толщины и оптических свойств пластинки) значению (например р ), или, наконец, любой кратной величине. На фотографии прошедший через анализатор свет дает картину, подобную той, которая изображена на рис. 105. Там мы видим ряд черных линий, представляющих собой кривые постоянной разности главных напряжений ). [c.492] Во многих случаях нужно знать концентрации напряжений в областях тела, расположенных около участков контура, имеющих малый радиус кривизны. Так, на рис. 105 изображен стержень в форме камертона, изгибаемый моментом М, приложенным к его ножкам . Мы знаем приблизительно распределение напряжений в областях, удаленных от места концентрации напряжений, т. е. там легко интерпретировать темные полосы. На рис. 105 постоянное расстояние между полосами в прямой части стержня характеризует линейное распределение продольных напряжений, возникающих в результате действия изгибающего момента. При приближении к искривленной части стержня появляются новые полосы, характеризующие увеличение разности главных напряжений. [c.493] В главе XI ( 387 — 388) мы установили, что (малый) прогиб растянутой мембраны является гармонической функцией двух переменных. Там же мы показали, как этот факт может быть использован в опытах с мыльными пленками. [c.495] Таким образом, если мы знаем величину суммы напряжений в каждой точке граничного контура, то мы можем использовать опыт с пленкой для того, чтобы определить значение этой суммы в каждой внутренней точке. В большинстве задач (например в задаче, к которой относится рис. 105) мы знаем величину суммы напряжений в некоторых частях контура, а относительно других частей контура, свободных от напряжений, мы знаем, что одно из главных напряжений — нуль, т. е. для этих частей сумма напряжений и разность напряжений тождественны. Следовательно, в таких задачах, из оптических наблюдений, пополненных теоретическими соображениями, можно получить граничные значения для суммы напряжений. Как последний этап решения, мы должны провести опыт с мыльной пленкой. [c.495] Теперь мы решим несколько задач чисто аналитическим методом. [c.495] Мы заметим, что члены в Xj , содержащие и являющиеся следствием изгибающего момента, линейны относительно у. Это согласуется с нашей приближенной теорией изгиба (гл. VII, 222). Вместе с тем члены, не зависящие от х, не удовлетворяют этому условию ). Распределение касательного напряжения Ху по поперечному сечению то же, что и найденное нами другими методами в 226 главы VII. [c.499] Мы еще должны специально исследовать выражение (35) в случае (я = 1). [c.504] Аналогично преобразовываются вторая и третья из формул (41). [c.505] Решение задачи, выраженное в формулах (46), можно доюлнить, прибавив, как и в 417, члены с множителем (Л — 3z ), однако, эти дололнительные члены, как в задаче, рассмотренной в 417, не имеют практического значения. [c.509] С полуобратным методом Сен-Венана некоторые упрощающие предположения. [c.510] Вернуться к основной статье