ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Закон Гука и следствия из него для упругих тел, находящихся в равновесии под действием приложенных к иим внешних сил из "Введение в теорию упругости для инженеров и физиков " Во-вторых, теория деформаций под нагрузкой представляет собой существенную часть ветви прикладной механики, известной под названием сопротивления материалов. В сопротивлении материалов стремятся отыскать правила, позволяющие каждой части конструкции или машины придать размеры, соответствующие тем силам, действию которых она должна противостоять. [c.8] Деформация детали может быть настолько малой, что не будет иметь значения сама по себе но ее нужно учитывать, потому что она определяет напряженное состояние (т. е. внутренние усилия). [c.8] Выводом этих уравнений и их решением мы займемся позже. В этой главе мы будем иметь дело с основными теоремами, которые можно получить из закона Гука, не обращаясь к подробным теориям напряжений и деформаций. Это те выводы, которые сам Гук мог бы сделать из своих наблюдений, если бы он обратился к закону сохранения энергии. Однако заметим, что закон сохранения энергии не был четко сформулирован даже во времена появления мемуара Навье, и только в 1837 г. Грин вывел общие уравнения новым методом, в основе которого лежал закон сохранения энергии ). [c.10] С работами Гука по теории упругости связано его замечательное изобретение — замена в хронометрах маятника, использующего силу тяжести, спиральной пружиной. Гук открыл свой закон в 1660 г., но забота о правах патента на изобретение задержала опубликование закона до 1676 г. В 1676 г. Гук сформулировал его в виде анаграммы— eilinosssttaa, расшифровку которой он дал в своем труде в 1678 г. [c.10] Оно имеет место тогда, когда приложена после Р и нами допущена возможность того, что aj,, может быть отличным от азз. [c.13] Будем рассматривать только те точки, в которых приложены силы. Изучая перемещение какой-либо нагруженной точки, будем ограничиваться изучением его составляющей в направлении приложенной там силы. [c.15] Здесь Яд, а,2. являются коэффициентами влияния вида, рассмотренного в 4—6. [c.16] Это имеет место лишь тогда, когда отношения -ff,, . . . [c.16] Выражение (10) представляет собой половину суммы произведений сил на соответствующие перемещения . [c.17] Значения реакций, возникающих в абсолютно жестких опорах, не содержатся в этом выражении, так как перемещения, соответствующие им, равны нулю. Если же опоры перемещаются под нагрузкой, то работа совершается против сил, которые в них возникают. [c.17] При выводе этого выражения мы принимали, что силы прикладываются определенным способом, но закон сохранения энергии вместе с принципом суперпозиции показывают, что оно должно сохраняться при любом способе приложения сил. [c.18] 8/ + РЛ +. + = Л 8. + РгЧ + .+ (17) которое можно сформулировать следующим образом силы первой системы (Pi,P ,. ., Р ), действуя на соответствующих перемещениях, вызванных второй системой (Р , Р , Рз, .. . Pj, производят. т.у же работу, что и силы второй системы, действуя на соответствующих перемещениях, вызванных первой системой. [c.21] Это теорема взаимности Максвелла ), Бетти ) и Рэлея ). Она является обобщением соотношений (14) и (15), обычно известных как соотношения взаимности Максвелл а . [c.21] — это положение приводит к утверждению, что U существенно положительная величина. Противоположное U отрицательная величина) едва ли мыслимо, ибо это означало, что приложением соответствующей системы сил мы могли бы извлекать из тела энергию. Другими словами, материал был бы механически неустойчив. Но мы не можем представить себе сохраняемость таких материалов в природе. [c.23] На этом заключении и иа принципе суперпозиции ( 6) мы можем основать доказательство того, что только одна конфигурация равновесия совместима с заданными силами или заданными перемещениями. [c.23] Доказательство сформулированной теоремы не опиралось на закон Гука. Теорема будет использована нами в 106 ). [c.28] Мы не ограничивали ни по форме, ни по размеру нагружаемое тело или материал, из которого оно состоит, мы только постулировали (а) что тело идеально упруго в смысле 1 (т. е. полагали, что перемещения принимают нулевые значения, когда силы удалены) и (6) что приложенные силы и вызванные ими перемещения связаны законом Гука. Мы видели, что иаше определение упругости, взятое само по себе, требует только, чтобы перемещения были однозначными функциями сил и исчезали, когда силы обращаются в нуль. Закон Гука дает больле, чем это определение, ибо он устанавливает, что перемещения точно пропорциональны силам. Однако он не делает постулат (а) излишним. Так, мы видели ( 6), что упругость нужно постулировать при выводе принципа суперпозиции из закона Гука или принимать этот принцип в качестве дополнительного предположения. [c.29] Этот пример показывает, что для некоторого типа нагрузок упругое тело может удовлетворять закону Гука и в то же время по кинематическим причинам может не удовлетворять закону для других типов нагрузки. К этому факту мы обратимся позже в связи с теорией устойчивости упругих систем (глава XIII). [c.30] Вернуться к основной статье