ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение плоских и осесимметричных контактных задач теории упругости методом граничных элементов из "Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций " В настоящее время численные методы стали единственным средством получения подробных и достаточно точных результатов при решении большинства практических задач. Наиболее широко применяемые численные методы решения краевых задач можно отчетливо разделить на два класса класс, требуюш,ий аппроксимации во всей исследуемой области, и класс, который требует аппроксимации только границы области. К первому относятся МКР и МКЭ, ко второму — МГЭ. Заметим, что перечисленные методы являются родственными и могут трактоваться как специальные случаи метода взвешенных остатков [30]. [c.48] Метод конечных разностей базируется на возможности аппроксимации дифференциальных операторов, входящих в дифференциальное уравнение, более простыми локальными алгебраическими операторами, которые действуют в системе узлов, заранее выбранных в области. МКЭ основывается на представлении самой области набором элементов среды (конечных элементов), совокупность которых составляет дискретный аналог исследуемой области, т. е. аппроксимирует реальную систему. МГЭ в отличие от МКР и МКЭ, по сути, не рассматривает дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они получены, а своим первым и основным шагом решения содержит преобразование исходных дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений. [c.48] Переход от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям устанавливает зависимость между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и их значениями на границе. Эта зависимость представляется главной в идейной стороне метода. Следствием установленного положения является тот факт, что в любой однородной области требуется дискретизировать только границу, а не всю область, т. е. область становится одним конечным элементом. Причем все внутренние переменные, описывающие искомое решение, изменяются непрерывно, а все аппроксимации и приближения вынесены на границу области. [c.48] Несмотря на то что все МГЭ имеют общее происхождение, их принято делить на три различных, но очень тесно связанных между собой варианта [19] прямой, когда неизвестные функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи полупрямой, когда интегральные уравнения записаны относительно неизвестных функций, после получения которых простое дифференцирование дает искомые реальные физические величины непрямой вариант МГЭ, когда интегральное уравнение полностью выражается через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенное с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области. Сами по себе эти функции не имеют физического смысла, но когда они найдены, решение всюду внутри области может быть получено из них интегрированием. [c.49] Сравнивая достоинства вариантов, большинство исследователей отмечают, что прямой метод наиболее привлекателен для инженеров, потому что в нем неизвестные функции являются реальными физическими величинами. По своей сути различия в вариантах МГЭ связаны с приемами вывода граничных интегральных уравнений и с обработкой результатов полученного решения. Сама же численная реализация и техника аппроксимации для всех вариантов МГЭ практически одна и та же. Однако использование прямого варианта МГЭ значительно облегчает постановку, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, сформулировать, например, условия контактного взаимодействия и т. п. [c.49] Методы граничных элементов, использующие принцип суперпозиции, могут быть применены к задачам, в которых исходное диффе ренциальное уравнение линейно или его можно аппроксимировать таким образом, что оно будет линейно относительно приращений. Как справедливо замечено в работе [19], существует очень мало задач, поддающихся решению с помощью МКЭ, которые нельзя было бы по меньшей мере столь же эффективно решить с помощью МГЭ. К нежелательным задачам для МГЭ можно отнести класс задач расчета оболочек и изучение сильно анизотропных сред, а также некоторых нелинейных задач. [c.49] В настоящее время МГЭ очень быстро завоевывает популярность, конкурируя по возможностям с МКЭ и благодаря его решающему преимуществу — снижению на единицу геометрической размерности задачи становится одним из главных средств решения задач. Отсюда следует, что граничная дискретизация по сравнению с геометрическим моделированием внутренней части тела ведет к существенному сокращению подготовки данных и к значительно меньшей системе уравнений. Здесь необходимо заметить, что, с другой стороны, матрицы, используемые в МГЭ, являются полнозаполненными и несимметричными. [c.49] Можно с уверенностью утверждать, что на настоящий момент явное преимущество МГЭ перед МКЭ будет иметь в задачах теории упругости для бесконечных и полубесконечных областей. Поскольку МГЭ еще сравнительно мало изучен, есть надежда, что у него имеются резервы по дальнейшему снижению вычислительной трудоемкости. [c.50] По своей сути граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, которая приводит к точному решению. Погрешность окончательного решения определяется погрешностью решения интегрального уравнения на границе, что в общем эквивалентно внесению погрешностей в граничные условия. Сравнивая МГЭ с другими методами, можно сказать, что потенциально он более точен, чем, например, МКЭ. Это объясняется тем, что в МГЭ используется аналитическое решение, которое справедливо всюду в области, а в МКЭ аппроксимации производятся в каждой отдельной подобласти. Однако неясно, как связаны погрешности внутри области с погрешностями на границе при реализации МГЭ. [c.50] Как правило, большинство численных методов, в частности МКЭ, обладает сходимостью в среднем — по энергетической норме. При этом ожидается, что разыскиваемые интегральные характеристики будут сходиться к точным, если приближение сходится к точному в среднем. Методы, связанные с приведением краевой задачи к эквивалентной системе ИУ, обеспечивают сходимость к точному решению в раномерной метрике. Причем некоторые виды ИУ могут быть решены итерационным путем в рамках метода последовательных приближений. С точки зрения некоторых исследователей это обстоятельство можно считать более важным преимуществом, чем снижение на единицу размерности задачи [202]. [c.50] Для решения полученного эквивалентного граничного интегрального уравнения используются, как правило, два основных метода решения — метод механических квадратур и метод последовательных приближений. В теории интегральных уравнений для случая одномерных уравнений доказано, что приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных на спектре), получаемое методом механических квадратур, сходится к точному решению при уменьшении размеров элементарных областей [152]. Вопрос о сходимости метода механических квадратур для сингулярных уравнений в двух измерениях остается открытым, в то время как сходимость последовательных приближений для уравнений теории упругости доказана. [c.50] Следует отметить, что разумным в направлении развития обоих методов, по всей видимости, является не противопоставление их друг другу, а оптимальное использование достоинств каждого из них. [c.51] Рассмотрим НДС произвольного трехмерного тела V, ограниченного поверхностью S. Для описания геометрии будем использовать общую декартову систему координат Xj, Х2. -х з или цилиндрические координаты г, 0, г. В каждой точке Q поверхности S зафиксируем единичную внешнюю нормаль п (п , Пз, з)- Пусть материал тела V изотропный и линейно деформиуемый с коэ ициентом Пуассона v и модулем упругости Е. В общем случае объект подвержен воздействию массовых сил В(, поверхностных нагрузок и температурного поля Т. [c.51] Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52] Для тензора Ttj проводятся аналогичные преобразования. [c.53] Заметим, что Т. Круз, Д. Сноу и Р. Уилсон 1239] для получения фундаментального решения в осесимметричном случае использовали векторное представление Галеркина действия сосредоточенной силы в цилиндрической системе координат. [c.54] Таким образом, если нам известны значения перемещений и,, усилий tj и интенсивности массовых сил Ь, по границе S, то с помощью выражений (III.5), (III.6) или (III.8) из соотношения (III.4) можно найти перемещения, а следовательно, деформации и напряжения в любой внутренней точке р V. [c.54] По своей сути уравнение (111.9), составляющее основу прямого МГЭ, является уравнением, определяющим некоторый потенциал (перемещение) в любой точке суммированием эффектов от других точек на границе S и внутри области V. Раскрыв по индексам уравнение (III.9), можно получить систему двух сингулярных интегральных уравнений в двумерном случае и трех — в пространственном. Сингулярность уравнений заключается в разрывности подынтегральных функций (III.5), (III.6) и (III.8) для случая Р = Q. Как будет показано далее, все интегралы в двумерном случае, содержащие функцию f/, , обладающую логарифмической особенностью, могут быть вычислены без особых трудностей. Интегралы, содержащие функцию Ti,, имеют сильную особенность вида HR и должны быть вычислены в смысле главного значения по Коши. [c.54] Коэффициент i, (Р) представляет собой результат применения аналога формулы Гаусса в теории потенциала [153]. В общем случае ij есть перемещение тела как жесткого целого (т. е. при t, = О и bj = 0), для гладкой границы i, Р) = 0,56,/. [c.54] Чем выражения для весовой и аппроксимирующих функций различны. Подобная процедура приведена в работе [30]. [c.55] Вернуться к основной статье