ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение упругопластической контактной задачи методом конечных элеменМодель контактного конечного элемента из "Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций " Рассмотрим систему взаимодействующих упругих или упругопластических тел, НДС которых может быть описано уравнениями двумерной задачи в цилиндрической или декартовой системе координат. [c.17] Будем считать, что граница области S включает совокупность свободных участков контура L, а также общие границы взаимодействующих подобластей L , рассматриваемые в качестве предполагаемых зон контакта. [c.17] Будем считать, что за пределами упругости НДС контактирующих тел описывается соотношениями теории малых упругопластических деформаций [126, 159]. [c.19] Следует отметить, что в случае некорректных контактных задач, когда незначительные изменения в исходных данных ведут к значительному изменению результатов, возможны различные решения упругопластических задач в зависимости от алгоритма поиска контактных зон и последовательности вычислений во вложенных итерационных процессах. Обычно в этих случаях задача чувствительна к степени дискретизации на конечные элементы, диаграммам деформирования, уровням нагрузок и легко обнаруживается потребность дополнительных исследований, в результате которых обычно вскрывается причина ее некорректности. На практике такие задачи встречаются редко, поэтому оставим их без внимания. В задачах с трением возможны случаи, когда фрикционные силы не могут уравновесить действующую нагрузку и решение в статической постановке отсутствует, что легко обнаруживается в ходе расходяш,егося итерационного процесса. Будем считать, что корректность постановки задачи должна обеспечиваться надлежащими входными данными. В данной реализации решение поставленной задачи получено путем последовательного решения ряда смешанных задач в итерационном процессе, на каждом шаге которого границы контактных площадок, условия взаимодействия на них полагаются фиксированными и изменяются в соответствии с выполнением условий (II.2) — (II.3). При этом материальные константы упругой системы выбираются исходя из удовлетворения определяющих уравнений задачи. [c.20] Между взаимодействующими подобластями 5 ь 5 +i в пределах возможной области контакта вводится специальный контактный слой 5,-к, наделенный особыми свойствами. Такой прием позволяет внешнюю нелинейность, обусловленную граничными условиями (II.2, II.3), свести к внутренней нелинейности контактного слоя и осуществить переход к рассмотрению задачи взаимодействия упругих или упругопластических тел, связанных нелинейным упругим слоем. [c.20] Для подобластей 5,-, рассматриваемых в рамках плоского напряженного состояния, в силу равенства (I00 = О опускается третье слагаемое в выражении (II.9), а также множители г и it в подынтегральных выражениях (II.9) —(11.11), если система координат не является цилиндрической. [c.21] Посредством введения контактных слоев 5 взаимодействующие подобласти рассматриваемой конструкции объединяются в единую систему, и в зависимости от вида их напряженного состояния вариационное уравнение (II.8) формируется из соотношений (11.9)—(11.12), (11.14). [c.21] В произвольном элементе pq (рис. 1), рассмотренном под р-ш номером в -м ряду, целесообразно ввести местную косоугольную систему координат Tiol в которой он будет представлен в виде единичного квадрата. [c.22] Здесь Bij — матрица жесткости системы и,-, bj — векторы-столбцы узловых перемещений и правых частей соответственно. [c.22] Полная система разрешающих уравнений МКЭ получается суммированием соответствующих коэффициентов систем уравнений отдельных элементов. Матрица жесткости системы является симметричной и в общем случае имеет ленточную структуру с окаймлением. Число столбцов окаймления равно количеству неопределенных коэффициентов At, Bi, Q. [c.24] В выражениях (11.20) — (11.24) индекс ji означает принадлежность конечного элемента определенному набору механических свойств материала. [c.24] Сформулировав и решив систему (11.19), определим значения узловых перемещений Uri, Uzi и, в случае необходимости, значения коэффициентов Ai, Bi, l. С помощью уравнений (11.17) вычислим перемещения любой точки тела. Далее, использовав зависимости (II.6), (II.7)-и (II.4), получим значения деформаций и напряжений и, таким образом, полностью решим линеаризованную задачу. [c.25] Алгоритмом решения задачи предусмотрено последовательное разбиение области S конструкции на составляющие ее конечные элементы. Первоначально рассматриваемый объект расчленяется на отдельные подобласти Si, отличные между собой по группе признаков. К последним относятся механические свойства материалов, различие пластических свойств, вида напряженного состояния, принадлежность подобласти контактному слою с определенным механизмом взаимодействия и т. п. Каждая из подобластей S,- представляется совокупностью первичных четырехугольников произвольного вида, стороны которых образуют топологически регулярную сетку в пределах всей рассматриваемой области S. Стороны четырехугольников первичной дискретизации могут быть отрезками прямых или дугами окружностей. Вторичная дискретизация подобластей на конечные элементы производится автоматически по информации о числе дробления сторон начальных четырехугольников и степени неравномерности этого дробления. При этом дуги окружностей аппроксимируются ломаными. Характер сгущения или разрежения вторичной разбивки определяется законом геометрической прогрессии с заданным ее знаменателем. Между взаимодействующими подобластями Si i, Si.fi в пределах всех ожидаемых областей контакта вводятся тонкие слои контактных элементов 5,к толщиной в один конечный элемент. Контактные элементы объединяют взаимодействующие подобласти S,- в единую систему S, выполняют функции регистрации участков контакта и отрыва, а также моделируют различные условия работы соединения (сцепление, проскальзывание, сухое трение и т. п.). [c.26] Следует отметить, что при наличии упругого слоя между телами условия непроникания выполняются приближенно, так как все же происходит некоторое сжатие слоя. В то же время при определенной жесткости слоя расчетная схема может быть ближе к реальному объекту, чем сформулированные выше условия, вследствие нендеального контакта тел или наличия тонкой прокладки из другого материала. Контактный слой S вводится независимо от того, отражает он жесткости шероховатостей или реальной мягкой прокладки, или рассматривается контакт идеально гладких тел. В последнем случае влияние слоя может быть сведено к минимуму, если принять его достаточно тонким и жестким. [c.26] Реологическая модель слоя может быть построена с различной степенью общности. При взаимодействии шероховатых тел достаточно задать жесткость слоя только в направлении нормали к линии kohtsi.-та, при наличии трения — дополнительно н сдвиговую жесткость G,, -Поскольку толщина слоя достаточно мала, в случае проскальзывания он получает большие сдвиговые деформации, поэтому величина сдвиговой жесткости не имеет принципиального значения и может изменяться в широких пределах при учете трения, не оказывая существенного влияния на результаты. Модули сжатия и сдвига контактного слоя принимают, как правило, равными соответствующим константам материала одного из взаимодействующих тел. [c.27] При отсутствии трения модуль сдвига G,k контактного слоя полагается равным пулю. В этом случае тела свободно проскальзывают друг относительно друга. [c.27] Нелинейный характер упругих свойств контактного слоя задается диаграммой а г = Ош Т), где е ,- — силовая деформация контактного слоя в направлении нормали п. [c.28] С помощью построенной модели контактного элемента реализуется итерационный процесс решения контактной задачи по удовлетворению граничных условий (П.2), (II.3). Первоначально, для определенности, задается вектор разрыва перемещений, равный зазору либо натягу. В последующих итерациях дляточек, где были назначены условия по перемещениям, проверяется условие положительности нормальных напряжений. В случае выполнения последнего в пределах данного элемента для последующей итерации тела освобождаются от связей путем обнуления матрицы механических свойств элемента Е 1к = = 0. При этом полагается а = 0. В случае контакта условия взаимного непроникновения практически выполняются, так как перемещениями тонкого и достаточно жесткого слоя можно пренебречь. Однако при чрезмерном увеличении жесткости слоя (на 5—6 порядков по сравнению с жесткостью смежных элементов конструкции) малая разность перемещений соседних узлов может привести к искажению картины НДС слоя, так как погрешности решения системы становятся соизмеримыми с упомянутой выше разностью перемещений. [c.28] Итерационный процесс решения контактной задачи начинается с полного прилегания взаимодействующих тел по всем возможным площадкам контакта и продолжается до тех пор, пока суммы накопленных контактных деформаций е ,- на данной и предыдущей итерации не будут отличаться на заданную малую величину. [c.29] Вернуться к основной статье