ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точное решение одной задачи нелинейной упругости при больших деформациях из "Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций Методы решения " Для бесконечной пластины с круговым отверстием, изготовленной из материала Бартенева-Хазановича [6, 59], рассмотрим задачу о всестороннем растяжении ее силами, действующими в плоскости пластины, считая, что пластина находится в плоском напряженном состоянии и граница отверстия свободна от нагрузок. Эта задача является осесимметричной. Для случая плоской деформации известно точное решение аналогичной задачи при больших деформациях для произвольного несжимаемого материала, относящееся к классу универсальных решений [59. Для плоского напряженного состояния универсального решения этой задачи не существует, однако для материала Бартенева-Хазановича удается найти точное решение при больших деформациях. [c.220] При решении удобно использовать цилиндрические координаты, поместив начало координат в центр отверстия. Пусть (г, (р z) — координаты некоторой частицы в конечном состоянии, а ro ipo zo) — координаты этой же частицы в начальном (недеформированном) состоянии. [c.221] Это решение представляет собой частный случай одного из универсальных решений, определяющего преобразование цилиндрической панели [59]. Подстановка этого решения в определяющие соотношения (1.4) и затем в уравнение равновесия (1.1) позволяет найти и затем получить выражения для напряжений. [c.221] Недиагональные компоненты этого тензора в данном случае равны нулю. [c.221] Недиагональные компоненты аффинора деформаций нулю. [c.221] Последнее из выражений (1.7) позволяет понять механический смысл константы А — это относительное удлинение в направлении, перпендикулярном к плоскости пластины. [c.221] Таким образом, в данной задаче р = onst. Если взять р = 2/iA, то, как следует из последнего уравнения (1.8), компонента a z будет равна нулю, что соответствует плоскому напряженному состоянию. [c.222] Отметим, что из уравнения (1.6) легко выразить г через р = Го, что позволяет получить решение задачи в координатах начального состояния. [c.222] Сравнивая это выражение со вторым уравнением (1.13), можно сделать вывод, что при равных нагрузках размер отверстия, образованного в предварительно нагруженном теле, меняется по сравнению с первоначальным в меньшей степени, чем размер отверстия, образованного до нагружения. Отметим, что подобный вывод можно сделать и для ряда других задач, результаты приближенного решения которых рассмотрены в гл. 5. [c.224] Полиномы Фабера [88, 111] играют важную роль в теории приближения функций комплексного переменного. Ряды по полиномам Фабера служат для представления аналитических функций в односвязных областях. Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора с круга на односвязную область. [c.226] Таким образом, в случае круга полиномы Фабера есть целые неотрицательные степени отображающей функции, а ряды по полиномам Фабера совпадают с рядами Тейлора. [c.227] Вернемся к рассмотрению полиномов Фабера в общем случае. Обозначим через Гд линию на плоскости 2 , которая при отображении = ф z) переходит в окружность = R 1. Такие линии называются линиями уровня функции Грина области D. Поскольку отображение = ф z) конформно и однолистно, то при R 1 линия Гя есть замкнутая правильная аналитическая кривая. А при R = I линия Fi есть граница Г области G. Внутреннюю область, ограниченную линией Гд, обозначим через а внешнюю область, ограниченную этой линией — через Dr. [c.227] Заметим, что полиномы Фабера полностью определяются отображающей функцией ш ). При этом можно не выяснять, какой вид имеет область G, а рассматривать разложение (Ш.7) функции ш ) как исходное. [c.229] При п = 1 или п = 2 это выражение может быть легко получено из рекуррентных соотношений (III. 13), а при п 2 можно убедиться в его справедливости, используя метод индукции. [c.229] Коэффициенты в разложениях (111.14), (III. 15) называются коэффициентами Фабера функции f z) относительно области G. [c.230] На практике важно знать, каковы области сходимости рядов (III.14), (III.15) и как определить коэффициенты ап- Ответ на вопрос о сходимости дает следующая теорема [88, 111. Теорема 1. Всякая функция f z) аналитическая в области G и на ее границе разлагается в ряд Фабера сходящийся равномерно во всей этой области и на ее границе. [c.230] В формулах (III. 16), (III. 17) р 1 — радиус окружности в плоскости а Гр — линия на плоскости 2 , в которую при отображении 2 = ш ) переходит эта окружность. При этом радиус р выбирается, исходя из условия, что функция f z) является аналитической во внутренней области, ограниченной линией Г . Если функция f z) аналитическая на границе Г области G, то эта функция будет аналитической и в некоторой окрестности этой границы, поэтому всегда можно выбрать радиус р, удовлетворяющий указанному условию. [c.230] Если граница Г области G является аналитической кривой, то при нахождении коэффициентов можно в формуле (III. 16) положить р = 1, т.е. вычислять интеграл по единичной окружности. А в формуле (III. 17) в этом случае можно вычислять интеграл непосредственно по границе Г области G. [c.230] Метод Шварца [34, 63, 65] является эффективным методом решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Этот метод называется также альтернирующим ). Метод Шварца первоначально был разработан для решения задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа, но может быть применен и к решению краевых задач для других дифференциальных уравнений и систем, в частности, к решению плоских статических задач линейной теории упругости. Этот метод позволяет найти решение краевой задачи для некоторой области, если эта область представляет собой пересечение или объединение нескольких областей, для каждой из которых эта краевая задача может быть сравнительно просто решена. [c.231] На первом шаге метода решается задача (IV.5) и находится поправка после чего вычисляется по формуле (IV.4). [c.232] Вернуться к основной статье