ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О постановке краевых задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций из "Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций Методы решения " Постановку краевых задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрим на примере задач о последовательном или одновременном образовании концентраторов напряжений (отверстий) в предварительно напряженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом или вязкоупругом теле. При этом в случае одновременного образования форма отверстий может быть задана как в момент их образования, так и в конечном состоянии (для вязкоупругого материала — в некоторый заданный момент времени). В случае последовательного образования отверстий предполагается, что форма каждого отверстия задана в момент образования этого отверстия. [c.37] Механическая постановка задачи об одновременном образовании отверстий следующая. В начальном (ненапряженном) состоянии в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под воздействием внешней начальной нагрузки, приложенной к телу, в нем накапливаются начальные большие деформации и напряжения. Тело переходит в промежуточное состояние. В области, занимаемой телом, мысленно намечаются одна или несколько замкнутых поверхностей (это границы полостей в момент их образования). [c.37] Части тела, ограниченные этими поверхностями, удаляются, а их действие на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по данным поверхностям. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних. [c.37] При этом форма и взаимное расположение полостей задаются либо в момент образования, либо в конечном состоянии (для вязкоупругого материала — в заранее заданный момент времени 2 i)- В первом случае требуется найти форму и расположение полостей в конечном (текущем) состоянии. Во втором случае нужно определить форму и расположение полостей в момент образования (а во вязкоупругом материале — ив последующие моменты времени, кроме Т2). [c.38] При решении конкретных задач о концентрации напряжений, которые рассматриваются в гл. 5, будет предполагаться, что напряженно-деформированное состояние, вызванное действием начальных нагрузок, является однородным. [c.39] Перейдем теперь к записи основных соотношений, описывающих постановку задач. [c.39] Пусть известны напряжения и деформации в теле в к-м состоянии и в этом состоянии в теле образуются одна или несколько полостей, вследствие чего тело переходит в п-е состояние. В случае, если задана граница полости (полостей) после деформирования, будем решать задачу в координатах текущего (п-го) состояния, а если задана граница полости до деформирования, вызванного ее образованием, то будем решать задачу в координатах к-го состояния (промежуточного состояния, предшествующего текущему). Рассмотрим сначала постановку задачи в координатах к-го состояния. Запишем уравнения и граничные условия краевой задачи для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на граничной поверхности. [c.39] В постановку задачи входят также уравнения, связывающие тензор истинных напряжений с аффинором деформаций Фо,п- Приведем эти уравнения для различных классов материалов. [c.40] В п-е как функцию радиус-вектора г, т.е. в координатах к-го состояния. [c.41] Следует также отметить, что при решении задач вязкоупругости в координатах некоторого состояния, соответствующего заданному моменту времени т, это состояние является фиксированным, и аффинор деформаций, описывающий переход из начального состояния в то состояние, в котором решается задача, не зависит от времени. [c.42] Опишем теперь кратко особенности математической постановки тех задач, механическая постановка которых была изложена в начале этого параграфа. В задаче об одновременном образовании в предварительно нагруженном упругом или вязкоупругом теле отверстий, форма которых задана в момент образования, можно выделить три состояния тела начальное, промежуточное и конечное (текущее). Постановка задачи осуществляется в координатах промежуточного состояния и включает формулы (2.5.1)-(2.5.17) при п = 2, А = 1, а также соотношения (2.5.6)-(2.5.14) при п = 1 (уравнение равновесия для начального состояния выполняется тождественно в силу однородности начальных деформаций). [c.42] В задаче об одновременном образовании в предварительно нагруженном упругом теле отверстий, форма которых задана в конечном состоянии, также можно выделить три состояния тела. Постановка задачи осуществляется в координатах конечного состояния и включает формулы (2.5.18)-(2.5.22), (2.5.24), (2.5.6)-(2.5.12) при п = 2, а также соотношения (2.5.6)-(2.5.12) при п = 1. [c.43] Наконец, задача о последовательном образовании отверстий, форма каждого из которых задана в момент его образования (общее число отверстий N — 1) естественным образом распадается на N — 1) задачу об образовании первого, второго,. .., N — 1)-го отверстия. Задача об образовании к-го отверстия к = 1. 7V — 1) формулируется и решается в координатах к-го промежуточного состояния, и постановка этой задачи включает соотношения (2.5.1)-(2.5.17). Как уже отмечалось ранее, при решении этой задачи учитывается наличие в теле ранее образованных отверстий и вызванных их образованием конечных деформаций. [c.43] ДОЛЖНЫ быть известны как функция радиус-вектора г. В связи с этим решение задач теории многократного наложения больших деформаций более сложно, чем решение обычных задач нелинейной упругости или вязкоупругости при больших деформациях, и не может быть найдено с помощью стандартных пакетов прикладных программ, при разработке которых не была учтена указанная особенность. [c.44] Вернуться к основной статье