ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Введение в методы граничных элементов из "Методы граничных элементов в механике твердого тела " Задача о сосредоточенной силе, приложенной перпендикулярно к поверхности упругой изотропной полуплоскости, известна как задача Фламана. Ее решение можно найти во многих курсах теории упругости (см., например, [53, стр. 112]). Оно представляет пример сингулярного решения в эластостатике (см. гл. 1). В данной главе покажем, как это сингулярное решение можно использовать при построении численного метода решения более сложных задач, связанных с нагружением полуплоскости. Этот пример послужит для выяснения ряда основных черт метода граничных элементов в механике деформируемых твердых тел. [c.33] Задача Фламана иллюстрируется на рис. 3.1. Нагрузка Fy, изображенная на нем, представляет линию сил, приложенных вдоль оси z она имеет размерность силы, деленной на длину (Н/м). Таким образом, имеем задачу о плоской деформации и, следовательно, можно ограничиться рассмотрением типичного поперечного сечения — оосх оо и у Ос границей у = 0. [c.33] Задача Фламана. [c.34] Эти условия требуют, чтобы значения функции ar tg (у/х) находились в интервале от —л до +я. Для полубесконечной области у О значения этой функции изменяются от —я до О, т. е. [c.34] Строго говоря, нужно заметить, что этот результат получается, когда у стремится к нулю из области отрицательных значении, что обычно записывают так I/ - 0 . Это уточнение нужно потому, что функция арктангенс разрывна вдоль отрицательной оси х она равна. +я, если г/=0+, и —я, если / = 0 . Мы имеем дело исключительно с областью О, и потому можно считать, что у = О означает то же, что = 0 . [c.34] Это уравнение показывает, что смещение Uy стремится к + в точке приложения линейной силы Fy О и к —оо на большом удалении от этой точки. Бесконечные смещения обусловлены характером нагрузки на границе. Когда мы принимали условия плоской деформации для плоскости х, у, подразумевалось, что линия действия силы неограниченна в направлении оси z. (В противном случае условие плоской деформации не будет выполнено для произвольной плоскости, нормаль к которой параллельна оси Z, ср. 2.6.) Следовательно, суммарная приложенная сила (т. е. сила, приходящаяся на единицу длины, умноженная на длину линии) бесконечно велика, и потому ей отвечают неограниченные смещения. [c.35] Постоянная L в (3.1.2) была введена, чтобы конкретизировать значения Uy в задаче Фламана. Согласно (3.1.8), Uy равно нулю при X == L, у = 0. Этот выбор произволен и означает, что мы условились измерять Uy относительно смещения произвольной точки X = L границы полуплоскости. [c.35] Заметим, что произвольная постоянная L в (3.1.2) заменяется в различных членах этого выражения на L — и L — Это необходимо для того, чтобы в точке х = L, у = О значение Uy было равным нулю для обеих сил Fy и FI. [c.36] О в других точках при у = 0. [c.36] Функция ру (х) может иметь вид, показанный для примера на рис. 3.3. Результирующая сила (на единицу длины) Fy в пределах малого участка границы около точки х = представляется произведением напряжения в этой точке ру ( ) на площадь d, в пределах которой оно действует, т. е. [c.37] Аналогичные выражения можно написать для и , o , Оуу и а у. В каждом из них получается интеграл, аналогичный (3.2.5), но содержащий свою функцию влияния. [c.37] Заметим, что i в этом выражении обозначает номер, а ие координатный индекс. [c.37] Смысл введенных параметров поясняет рис. 3.5. Параметры rj и Га выражают расстояния от точек х — +а, у = О и х = —а, г/ = О до произвольной точки х, у) —9i, —02 — углы между положительным направлением оси х и линиями ri и rj. [c.39] Согласно рис. 3.5, при у = О угол 0j равен 02, за исключением участка х о, где 02 = О и 0j = —л. Таким образом находим, что при у = О Оуу равно нулю, если х а, и Оуу равному, если х I о, как и должно быть согласно заданным условиям. [c.39] Эта процедура эквивалентна простому численному интегрированию функций, определяющих смещения и напряжения в полуплоскости с О при произвольном распределении нормальных напряжений, приложенных на границе. Очевидно, можно подойти сколь угодно близко к точному решению, выбирая граничные элементы все меньшей и меньшей длины. [c.40] Задачи, рассмотренные в 3.2, относятся к случаям, в которых на границе упругой полуплоскости г/ с О заданы напряжения tx ху и = Оуу). Согласно терминологии, принятой в 2.7, эти задачи известны как краевые задачи в напряжениях. [c.40] Эти условия требуют, чтобы смещения Uy непосредственно под штампом, л I Ь, у — О, были постоянными и равными —u (Uq 0). Кроме того, касательные напряжения о у равны нулю на всей границе, включая область х Ь под штампом (предполагается, что смазка обеспечивает условия, при которых на контакте штампа с полуплоскостью не возникают касательные усилия). И наконец, нормальные напряжения Оуу равны нулю при у О для I л I Ь, т. е. в точках, где не заданы смещения Uy. Под штампом ( л [ с Ь, = 0) нормальные напряжения неизвестны. [c.41] Для решения смешанных краевых задач типа (3.3.1) имеется аналитический аппарат. Например, можно применить методы, основанные на комплексных переменных [49, стр. 249—3271, [53, стр. 179—2281 или на интегральных преобразованиях [47, стр. 445—509]. Однако объяснение соответствующей техники выходит за рамки данной книги. Вместо этого опишем численную процедуру решения задачи. Эта процедура служит простым примером метода граничных элементов. [c.41] Предположим, что граничные элементы настолько малы, что нормальное напряжение Оуу, действующее на каждый элемент, может считаться постоянным. Это постоянное нормальное напряжение в типичном элементе / обозначим через Т у. Тогда численное решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию таких значений напряжений Т1 для всех / от единицы до N, при которых смещение в центре каждого из элементов окажется равным постоянной — о- Как будет показано ниже, N неизвестных напряжений определяется из решения системы N линейных уравнений. [c.41] Эти уравнения могут быть решены относительно Т , г = 1, N, при помощи стандартных методов численного анализа. [c.43] Вернуться к основной статье