ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы От редактора перевода из "Методы граничных элементов в механике твердого тела " Эта книга посвящена перспективному методу численного решения задач механики сплошных сред — методу граничных элементов (МГЭ), называемому также методом граничных интегральных уравнений. Он быстро завоевывает популярность, превосходя по возможностям метод конечных элементов, и становится главным средством решения задач на ЭВМ благодаря двум его решаю-ш,им преимуществам — сокращению на единицу геометрической размерности задачи (и соответствующему снижению затрат на подготовку информации, память, время и стоимость вычислений) и легкости исследования бесконечных областей. Кроме того, МГЭ позволяет естественным образом отразить достаточно сложные условия взаимодействия на соприкасающихся границах тел. Все это определило взрыв исследований по численной реализации метода и быстрый рост интереса к нему специалистов-приклад-ников, о чем свидетельствует, с одной стороны, обилие журнальных публикаций, а с другой — мгновенная распродажа переводов книг [1—31, посвященных этому методу. [c.5] Нет нужды пересказывать содержание данной книги — оно вполне ясно из оглавления и в достаточной мере прокомментировано в предисловии авторов. Целесообразнее остановиться на ее особенностях, которые одновременно составляют и важные достоинства книги. Таких особенностей три. [c.5] Главная из них — прагматический характер книги. Она позволяет читателям сразу применять методы граничных элементов на практике, прямо перенося приведенные в приложениях программы на свои ЭВМ, комбинируя вычислительные модули для создания новых программ и даже проводя сложные изменения в модулях для повышения точности и (или) для решения нелинейных, динамических и т. п. задач. Таким образом, исследователи и инженеры получают благоприятную возможность легко и быстро включиться в процесс использования и развития МГЭ. Все три приведенные в приложениях программы успешно опробованы на отечественных машинах серии ЕС. [c.5] Третья особенность — внимание, проявленное авторами в заключительной, восьмой, главе к сложным контактным задачам, связанным с учетом не только упругого взаимодействия на соприкасающихся границах тел, но и с необратимым деформированием на контактах. Метод граничных элементов в варианте разрывных смещений по самой своей природе идеально приспособлен к решению соответствующих проблем. Получаемые с его помощью результаты окажутся интересными как для новичков, так и для искушенных читателей, уже основательно знакомых с МГЭ. Особый интерес восьмая глава представляет для специалистов в области горной геомеханики и инженерной геологии. [c.6] Эти особенности книги — прямое отражение творческого лица ее авторов, успешно сочетающих работу по приложению математических методов к задачам горного дела с лекционной и популяризаторской деятельностью и обучением молодежи. Для них метод граничных элементов никогда не был самоцелью, а служил удобным средством решения прикладных задач. Поэтому и к развитию его в форме варианта разрывных смещений их побуждала прежде всего настоятельная нужда отразить специфику задач горной геомеханики. Все это в сочетании с методическим мастерством способствовало успеху в достижении поставленной авторами цели, отчетливо сформулированной ими в конце их предисловия. Цель эта в известной мере локальна и отчасти ограничивает круг вопросов, охватываемых в книге. Ограничен и список литературы. Дополнительные сведения и ссылки можно найти в книгах 1—3] и в дополнении, которым мы с любезного согласия авторов снабдили этот перевод. [c.6] Техника граничных элементов — вычислительная Золушка, которая выросла в тени методов конечных разностей и конечных элементов. Хотя методы граничных элементов по своей природе просты в применении и очень гибки в приложениях ко многим проблемам, до недавнего времени они не получали того внимания, которого заслуживали, особенно в различных областях инженерной практики, где властвовали родные дочери. [c.7] Причин такого положения несколько. [c.7] Предлагаемая книга представляет попытку отчасти исправить подобное положение. Мы намерены показать, как можно приспособить методы граничных элементов для решения разнообразных задач механики твердого тела. Книга предлагает читателю скорее гибкий структурный подход к решению задач, нежели общее вычислительное оснащение. Математика также приспособлена непосредственно к решению задач, и поэтому математические трудности указываются, но не исследуются всюду в тексте основное внимание уделяется физическим аспектам методов граничных элементов. [c.7] ГОСТИ И механика разрушения. В гл. 1 содержится обзор этих методов в контексте общих краевых задач, которые могут относиться к любой из названных областей или к ним всем. Остальные главы посвящены методам граничных элементов в механике твердого тела. В гл. 2 дается обзор сведений из теории упругости, которые затем постоянно используются в остальной части книги. В гл. 3 вводится решение Фламана для линии сосредоточенных сил, действующих на границе полуплоскости, и для этого случая разрабатывается простой метод граничных элементов. Цель состоит в том, чтобы показать, как математическое решение элементарной задачи может быть преобразовано в вычислительную технику для решения более сложных проблем. В гл. 4 и 5 построены два непрямых метода граничных элементов для плоских задач. Идея прямых методов (эта терминология разъясняется в гл. 1) развивается в гл. 6 с помощью скорее физических, чем математических соображений. В гл. 7 иллюстрируются некоторые обобщения методов граничных элементов и технические приемы, позволяющие увеличить точность решения. Некоторые из этих приемов общие, а другие специально созданы для определенных классов задач. Особое внимание уделяется тому, как для решения этих задач строятся вычислительные программы. И наконец, в гл. 8 даны примеры приложений методов граничных элементов в горной геомеханике и инженерной геологии. Эти примеры подобраны таким образом, чтобы проиллюстрировать ту помощь, которую оказывает метод граничных элементов, облегчая понимание физических процессов. [c.8] Тенденция всех глав — отчетливо показать, как конструируются и используются методы граничных элементов. Для этого математический и численный анализы проводятся предельно просто. Однако ряд математических соотношений разъясняется в деталях. Некоторые читатели предпочтут опустить эти детали, тогда как другие будут рады найти и использовать все необходимые формулы для построения своих собственных вычислительных программ, реализующих методы граничных элементов. [c.8] Подобно тому как за последнее десятилетие стала более изощренной техника конечных элементов, теперь конструируются и применяются и более изощренные варианты методов граничных элементов. Предмет стремительно развивается и в плане улучшения численных процедур, и в направлении усложнения задач, которые можно решать с помоиц ю таких методов. Наша цель — помочь читателям развить в себе ощущение столь близкого знакомства с методами граничных элементов, чтобы, отложив эту книгу, они вдохновились на более глубокое изучение предмета. [c.8] Многие важные практические проблемы в науке и технике сводятся к математическим моделям, которые принадлежат классу задач, известных как краевые задачи. Для любых краевых задач характерно наличие некоторой области R, лежащей внутри границы С. Реальная задача в области R моделируется дифференциальным уравнением в частных производных, решение которого отыскивается при определенных ограничениях — условиях, заданных на границе области. Если область R трехмерная, то С представляет собой ограничивающую ее поверхность в двумерных задачах R—плоская область, а С—ограничивающий ее контур. [c.9] Примеры краевых задач можно встретить во многих областях, в таких, как тепло- и массоперенос, течение жидкости, электростатика и механика твердого тела. К примеру, установившееся распределение тепла описывается дифференциальным уравнением в частных производных (уравнением Лапласа) =0, где Т — температура, и в любой корректно поставленной задаче в каждой точке границы С заданы либо температура, либо тепловой поток (температурный градиент). В эластостатике дифференциальные уравнения в частных производных — это уравнения упругого равновесия и в каждой точке границы С задаются нормальные напряжения или смещения и касательные напряжения или смещения. [c.9] Следует заметить, что в любой краевой задаче в виде граничных условий на С задается только часть параметров, тогда как остальные параметры отыскиваются в ходе решения задачи. Например, если в задаче линейной теории упругости на границе заданы смещения, то напряжения на границе (как и напряжения и смещения в любой точке области R) можно найти как часть решения задачи. Если на границе С задано достаточно условий, то решение задачи определяется этими условиями единственным образом. [c.9] Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные условия — трудно описываемыми простыми математическими функциями. В таких случаях, используя численные методы, при помощи вычислительных машин можно найти приближенное решение. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй — методы граничных элементов. [c.10] ВИЯМ на каждом элементе контура С. Поскольку каждое сингулярное решение удовлетворяет в R определяющим дифференциальным уравнениям в частных производных, в этом случае нет необходимости делить саму область R на сетку элементов. Система уравнений, подлежащих решению, оказывается значительно меньше, чем система, которую нужно решить в той же краевой задаче, если использовать метод конечных элементов, однако, как будет показано ниже, уравнения теперь не разряженные. [c.11] Разделим прежде всего С на ряд элементов и примем, что нас удовлетворит приближенное решение, которое отвечает заданным условиям на С только в средних точках элементов на С. Если контур С разделен на N элементов, то надо иметь N сингулярных решений, которые в сумме удовлетворят требуемым условиям в центре каждого элемента на С. Возникают два вопроса где следует поместить сингулярности и какова должна быть интенсивность каждой из них Очевидный ответ на первый вопрос заключается в размещении сингулярностей на С — по одной в центре каждого элемента. Тогда суммарное воздействие всех N сингулярностей на произвольный элемент можно выразить через интенсивности сингулярностей. Хотя значения этих интенсивностей не известны, но зато из граничных условий известно их совместное влияние. Следовательно, можно записать систему N линейных алгебраических уравнений относительно N неизвестных значений интенсивностей сингулярностей. [c.12] Вспомогательный контур С на рис. 1.2 (Ь) можно рассматривать как границу для двух различных задач. В одной из них — в так называемой внутренней задаче — рассматриваемая область R есть конечная область внутри контура С (рис. 1.2 (а)). Другая задача называется внешней задачей, и в этом случае R — неограниченная область вне контура С. [c.13] Методы граничных элементов особенно привлекательны во внешних задачах, когда контур С определяет границу полости в бесконечном теле. Если основное сингулярное решение выбрано так, что оно удовлетворяет соответствующим граничным условиям на бесконечности, то линейная комбинация таких решений также будет удовлетворять этим граничным условиям. Тогда при решении данной задачи достаточно поместить сингулярности только вдоль вспомогательного контура С. [c.13] С другой стороны, конечно-элементная модель задачи требует чтобы сетка была распространена достаточно далеко от границы полости, с тем чтобы условия, задаваемые на внешней границе сетки, не оказывали существенного влияния на решение вблизи полости. Элементы у внешней границы сетки можно принимать достаточно большими, поскольку решение задачи мало изменяется от точки к точке на больших расстояниях от полости. Вместе с тем переход в сетке от внутренней границы к внешней должен быть достаточно гладким , чтобы в решении точнее представить градиенты. [c.13] Вернуться к основной статье