ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вычисление значений потенциала и скорости во внутренних точках из "Методы граничных элементов в прикладных науках " Единственное неизвестное в уравнении (3.22) 9 может быть найдено обычными методами матричной алгебры путем обращения матрицы размером (j + 1) Х (jV + I)- Подставляя затем 9 в неиспользованные уравнения системы (3.19), (3.20), мы сможем определить, если потребуется, остальные граничные значения потенциала и потока. Если же этого не требуется, то из всех уравнений (3.19) и (3.20) используются лишь выражения для компонент и граничных значений р и и. [c.64] Значения потенциала во внутренних узлах вычисляются по известным значениям 9 с помощью дискретных выражений вида (3.17), которые совпадают с соотношениями (3.15), за тем лишь исключением, что индекс р относится к интересующим нас внутренним точкам хР. Компоненты скорости в тех же самых точках в некотором направлении ni(xfj могут быть найдены сходным образом ш формулам (3.16). [c.64] Здесь следует сделать два важных замечания. [c.64] Теперь мы снова обратимся к алгоритму решения прямым МГЭ. При этом опять будет выполнено интегрирование сингулярных решений по 5 и А, приводящее в конце концов к матричным уравнениям, связывающим граничные значения, однако последующее вычисление и(х,) будет проводиться уже не столь непосредственно, как было указано выше в замечании 2. [c.64] Это соотношение позволяет находить значения потенциала в произвольной точке по известным значениям потенциала и потока во всех точках границы S и заданному распределению интенсивностей внутренних источников. [c.68] Уравнения (3.29) и (3.30), по существу, являются двумерными аналогами уравнения (2.22), и читатель, таким образом, может справедливо предположить, что трехмерные задачи также будут приводить к уравнению, совпадающему с (3.30), в котором индексы принимают значения 1, 2 и 3, S становится площадью поверхности, а А — объемом V. [c.68] Для угловой точки, показанной на рис. 3.5, б, свободный член равен [ й/(4л)]уо( д), где в — величина соответствующего телесного угла. [c.70] Подстановка (3.32) в (3.31) приводит к граничному интегральному уравнению требуемого вида . [c.70] Это тождество в принципе позволяет нам по заданным граничным значениям и распределению внутренних источников вычислить все остальные не заданные на границе характеристики. После того, как все данные на границе (т. е. значения р и и иа S) будут известны, ими можно воспользоваться для вычисления р 1) по формуле (3.30) в любой точке внутри А. [c.70] Проведение подобных выкладок без использования индексных обозначений чрезвычайно утомительно так, в развернутой записи уравнение (3.38) содержит восемь отдельных членов-произведений (два из которых оказываются равными нулю). Поэтому читателю настоятельно рекомендуется овладеть несколькими простыми правилами (см. приложение А), требующимися уже на данной стадии, чтобы быть готовым к существенно более широкому использованию подобных обозначений, например в теории упругости. [c.71] Дальнейшие преобразования почти в точности совпадают с подробно описанными в разд. 3.4.1 применительно к непрямому методу, поэтому ниже мы ограничимся лишь упоминанием основных моментов. [c.71] Главная задача состоит в решении уравнения (3.35), т. е. в вычислении по заданным граничным условиям остальных первоначально неизвестных граничных значений р и и. [c.71] Здесь опять индексом S обозначены матрицы, состоящие из линейных интегралов, содержащих F м G, индексом А — матрица, состоящая из содержащих G интегралов по элементарным площадкам, арии — векторы граничных значений потенциала и потока, совпадающие с р и соответственно. [c.72] Подобная нормировка выполняется автоматически путем введения безразмерных переменных. [c.73] Особенности, возникающие в содержащих F интегралах по внутренней ячейке, в которой лежит точка снова оказываются слабыми (порядка 1/г), и, следовательно, компоненты векторов F или Н в уравнении (3.48) не содержат интегралов в смысле главного значения. [c.74] Таким образом, мы завершили описание прямого МГЭ применительно к типичной двумерной задаче о потенциальном течении в однородной области, и читателю рекомендуется теперь параллельно проанализировать оба метода решения — прямой и непрямой. На основе этого анализа, вероятно, можно прийти к справедливому выводу, что затраты на вычисление в непрямом МГЭ фактически совпадают с требуемыми в прямом методе для нахождения первоначально неизвестных значений на границе. Однако в дальнейшем в связи с формированием в прямом методе дополнительной матрицы Н затраты на вычисление этим методом значений и (х) во внутренних точках существенно возрастают и могут конкурировать с затратами, которые обусловлены дополнительными операциями с вектором qp в непрямом методе, необходимыми для нахождения остальных граничных значений. [c.74] Уравнение (3.49) связывает граничные значения потока и потенциала подобно тому, как это обычно получается в методе конечных элементов, хотя в данном случае мы имеем лишь один суперэлемент , представляющий собой всю нашу однородную область независимо от ее формы. В 3.8 мы покажем, каким образом формируются подобные зональные суперэлементы при решении с помощью МГЭ задач для кусочно-однородных тел. [c.75] Два одномерных интеграла от G и два интеграла от G по площади совпадают в силу симметричности G(x, ). Интегралы от F и от Я имеют сильные особенности при Xi = li, тогда как все остальные являются интегралами от функций со слабой особенностью в тех же точках. [c.77] Для простых дифференциальных уравнений и простых схем дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала и интенсивностей источников по линейным граничным элементам и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их, безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, как это приходится делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных сингулярных решений с учетом их изменения по элементам с криволинейными границами. Используемые при этом численные квадратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рассмотрены ниже. [c.77] Вернуться к основной статье