ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейная упругость против линейной в XVIII веке из "Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел Часть1 Малые деформации " МИ пружинами и менее известные опыты на изгиб сухой древесины, но и представляющиеся мне наиболее важными опыты на растяжение вертикально расположенных металлических проволок длиной от 30 до 40 футов. В той же манере, в какой многие экспериментаторы и теоретики поспешно обобщают важное открытие, Гук несколько экстравагантно заявлял относительно линейной зависимости между силой и удлинением Ее можно наблюдать не только в этих телах, но и в любых других упругих (springy) материалах, будь то металл, дерево, камни, спекшаяся глина, волос, шелк, кость, сухожилия, стекло и тому подобное (Нооке [1678, 1]). [c.41] Экспериментаторам XIX века предоставлялось продемонстрировать, что для каждого из этих материалов закон Гука является всего лишь приближенным. Хотя к девяностым годам XIX века было много дискуссий относительно вида нелинейной зависимости между напряжением и деформацией для различных тел, включая металлы, однако было уже немало экспериментальных доказательств того, что нелинейность при малых деформациях является воспроизводимым фактом. [c.41] Без сомнения, эту предельную точку — предел прочности дерева — надлежит знать, чтобы использовать материалы, прочность которых выше тех напряжений, которым они подвергаются в конструкциях и машинах, будучи их частями однако следует всегда держаться на расстоянии от этого предела, причем когда требуется создать долговечные конструкции, нужно уходить от него еще дальше, так как время непрерывно снижает прочность древесины и еще тысячи разных причин способствуют нарушению ее первоначальных свойств. [c.42] Существует другой тип исследования, не менее, а возможно, и более полезный, которым, как мне кажется, меньше всего занимались. Он состоит в сравнительном определении сопротивления древесины, когда она подвергается силам, способным лишь очень незначительно изменить ее форму, и найти, если я могу так назвать, виртуальное сопротивление ) (Dupin [1815.1], стр. 138—139). [c.42] Дюпен обнаружил, что при очень малых действующих нагрузках прогибы пропорциональны им. Однако по мере роста нагрузки картина меняется — приращения перемещений, которые соответствуют равным приращениям нагрузки, не остаются постоянными. Из таблицы численных результатов первой серии экспериментов трудно понять, как Дюпен пришел к этому выводу, поскольку приращения прогибов различались значительно с самого начала и видна только тенденция к их увеличению с ростом нагрузки. [c.42] Возможно, что наибольшую важность с точки зрения более поздних экспериментов Дюпена имели, во-первых, составленные Бюф-фоном обширные таблицы прогибов посередине свободно опертых деревянных балок непосредственно перед образованием трещин и непосредственно перед разрушением и, во-вторых, экспериментальное исследование влияния числа слоев (годовых колец), плотности древесины, а также расположения слоев (вертикального или горизонтального) на разрушающую нагрузку и на максимальный прогиб посередине пролета балки ). [c.45] Я особенно подчеркиваю тот факт, что Готэ понимал всю сложность задачи, которую он решал и что как экспериментатор он не желал соглашаться с простыми допуш,ениями, не ставя их под сомнение. [c.46] Дюпен испытал одну и ту же балку прямоугольного поперечного сечения в двух положениях на ребро и плашмя и обнаружил, что отношение прогибов посередине пролета в этих случаях при одной и той же нагрузке равно отношению квадратов размеров поперечного сечения. Простые выкладки показывают, что указанное отношение прогибов обратно пропорционально отношению моментов инерции площади поперечного сечения балки относительно двух главных осей инерции. [c.47] В таблице 1 представлены результаты опытов П. Дюпена для четырех балок из северной пихты с длиной пролета 2 м при указанных в таблице нагрузках. [c.47] Прямолинейный характер экспериментального графика на рис. 2.2 и соответствие теории с экспериментом, представленное в табл. 1, не только устанавливают связь между прогибом посередине пролета балки, длиной пролета, высотой и шириной прямоугольного поперечного сечения для свободно опертых призматических балок и показывают, что экспериментальные данные согласуются с теорией Бернулли — Эйлера, но также свидетельствуют и о тщательности, с которой Дюпен проводил свои эксперименты. [c.47] В таблице 2 представлены результаты экспериментов для четырех рассмотренных типов деревянных балок дубовых, кипарисовых, березовых и из северной пихты. Максимальные прогибы посередине пролета при нагрузке в 28 кгс изменяются от 0,04 м до 0,06 м. Формула П. Дюпена (2.3) подтверждает замеченную им линейность вплоть до значений т=2, т. е. до нагрузки 8 кгс, после чего вторые разности перестают равняться нулю. [c.48] В связи с этим интересно обратиться к докторской диссертации Макса Борна 1906 г. (Вогп [1906, 1 ). Проведенный Борном анализ различных форм упругой линии при больших прогибах сопровождался иллюстрациями, отчетливо показывающими, что металлическая полоса действительно принимает при изгибе формы, согласующиеся с предсказанными Дюпеном кривыми. [c.49] Ординаты изогнутой оси отсчитываются от уровня центра среднего сечения в балке, испытавшей изгиб. [c.50] Ввиду очевидной нелинейности связи между нагрузкой и прогибом тот факт, что упругая кривая, определенная по линейной теории балок, не способна настолько приблизиться к опытным данным, насколько этого достигает гипербола Дюпена, не является неожиданным. [c.50] Такую же явную близость экспериментальной упругой линии к соответствующей ей гиперболе Дюпен получил и для других видов древесины и при других значениях прогиба посередине пролета, придав таким образом своей гиперболической упругой линии некоторую универсальность для описания любых экспериментальных упругих линий (в случае загружения балки нагрузкой, симметричной относительно середины пролета.— А. Ф.) при очень малых несовпадениях. Принимая в качестве упругой линии гиперболу, Дюпен исследовал максимальную кривизну как функцию значения нагрузки. В числе других проблем, освещенных в его пространном мемуаре, были проблемы разрушения, максимальной кривизны при разрушении и принудительного изгиба балок по кривым с заданными кривизнами. [c.50] Очевидная тщательность и точность Дюпена в его экспериментах, проявленные в описанных выше исследованиях изгиба балок. [c.50] Вернуться к основной статье