ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивые резонаторы с произвольными аберрациями. Теория возмущений из "Оптические резонаторы и лазерные пучки " В качестве примера использования (3.2) решим практически важную задачу по нахождению дифракционных потерь произвольного устойчивого резонатора из зеркал конечного размера для упрощения выкладок будем считать его симметричным. В качестве невозмущенного возьмем резонатор из бесконечных зеркал той же кривизны, имеющий полные ортонор-мированные наборы собственных функций вида (1.23), (1.24) ограничение размеров зеркал и будет являться возмущением. [c.148] Наконец, приняв во внимание, что у всех мод устойчивого резонатора из неограниченных зеркал 1/31 =1, приходим к искомой формуле для потерь 1 - I Р = 2 / I I dS. [c.148] Не вдаваясь в детальные объяснения, сообщим, что именно существование вырождения и приводит к указанному росту относительных погрешностей при малых возмущениях (больших размерах зеркал). Чтобы избежать этого, Виткин [87], а за ним и другие применяли вариант теории возмущений, рассчитанный на наличие вырождения однако этот вариант очень сложен. Можно еще, следуя Глоге [91], пытаться использовать полную систему взаимно ортогональных функций конфокального резонатора из конечных зеркал одинаковой кривизны ввиду наличия потерь вырождение там снято. Однако такой выбор базисной системы удобен только для вышедших из употребления конфокальных или совсем близких к ним резонаторов в других случаях возмущение уже не будет малым. [c.149] Таким образом, следующие навстречу друг другу волны, составляющие низшую моду конфокального резонатора, обладают объясняющим рекордно низкие потери такого резонатора экстремальным свойством они осуществляют оптимальную передачу энергии между двумя апертурами (этот результат для частного сл ая апертур одинакового размера другим способом был пол ен еще в [80]). Нетрудно видеть, что данные волны не могут составить моду какого-либо иного резонатора, зеркала которого вписаны в те же апертуры. Поскольку, с другой стороны, мы пришли к выводу об экстремальности указанных волн исходя только из полноты и ортонормированности соответствующей системы функций, предположение о существовании других резонаторов с подобными системами функций противоречит этому выводу. [c.150] Можно еще пытаться воспользоваться тем обстоятельством, что распределения полей собственных колебаний на зеркалах произвольного линейного резонатора обладают следующим вытекающим из симметрии ядра интегрального уравнения свойством если /3 то / dS = 0. [c.150] Исходя из этого Глоге [91] и Вайнштейн [80] считали возможным применять разложения по собственным функциям линейных резонаторов любых типов при условии, что распределения полей берутся непосредственно на концевых зеркалах и вместо (ср, ф) используются скалярные произведения ф) J dS. Однако, как показано в [28], этот подход корректен только тогда же, когда и обычный (приводя к тем же результатам) и намного менее удобен, поскольку при обычном можно пользоваться любыми отсчетными поверхностями внутри не только линейных, но и кольцевых резонаторов. [c.150] Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150] Эта методика обеспечивает высокую точность расчета потерь и распределений полей низших мод устойчивых резонаторов с зеркалами конечных размеров при учете всего нескольких членов разложения. Однако чаще всего достаточно лишь примерно оценить результат влияния тех или иных факторов на распределение поля. Для таких оценок можно, не взирая ни на что, пользоваться формулами (3.2), просто не учитывая существования вырожденных мод с далеко отстоящими индексами. При этом относительные погрешности оказываются существенными в основном на предопределяющей величину потерь периферийной части распределения, в то время как форма распределения в области большой интенсивности определяется с удовлетворительной точностью. [c.151] При переходе к трехмерному резонатору среди возможных последствий малых возмущений на первое место выходит снятие существовавшего в их отсутствие вырождения. Каждая группа ранее вырожденных мод распадается на подгруппы или отдельные моды, приближенно представимые в виде суперпозиции исходных. Вид новых мод определяется не столько величиной возмущения, сколько типом присущей ему симметрии. Так, в 2.3 мы уже сталкивались с тем, что если при бесконечных зеркалах и в отсутствие аберраций моды с пздпсами вида (1.23), (1.24), имеющие одинаковые 2, были полностью вырождены и могли быть скомбинированы друг с другом как угодно, то ограничение размеров зеркал снимает вырождение, причем в случае прямоугольных зеркал решения близки к (1.23), круглых — к (1.24). [c.151] Вернуться к основной статье