ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральное уравнение и спектр собственных колебаний произвольного пустого резонатора из "Оптические резонаторы и лазерные пучки " Интегральное уравнение и спектр собственных колебаний произвольного пустого резонатора. В основе теории открытых резонаторов, как и любых резонаторных устройств, лежит понятие о собственных колебаниях — модах. Поэтому мы сперва познакомимся с тем, как эти моды можно рассчитать, что они в самом первом приближении собою представляют и как классифицируются. [c.62] Собственным колебанием резонатора называется такое распределение поля, зависимость которого от времени в отсутствие внешних источников описывается во всем объеме одним и тем же множителем ехр (-/соГ), где сх) — собственная круговая частота, являющаяся, в общем случае, комплексной 0J = (х) - (J и со действительны. Для пустых резонаторов с источниками потерь со О — колебания затухают во времени, однако форма пространственного распределения поля остается неизменной. [c.62] ВО времени принщш же Гюйгенса-Френеля обычно применяется в случае стационарных световых полей. [c.63] Чтобы понять смысл этого множителя, надо принять во внимание, что, как указывалось в 1.1, все выведенные там соотношения связывают между собой значения комплексной амплитуды на разных участках пространства в один и тот же момент времени. Дальше от плоскости источника к этому моменту времени успел отойти свет, который был испущен раньше, т.е. тогда, когда источник был интенсивнее. Именно это обстоятельство и учитывается добавлением указанного вещественного множителя на прохождение оптического расстояния Lq требуется время Lq/ , в течение которого амплитуда источника успевает уменьшиться в ехр (J LqI ) =ехр k Lo) раз. [c.63] Приступим теперь к рассмотрению собственных колебаний произвольного пустого линейного резонатора с полностью отражающими зеркалами, лишенного элементов, которые могли бы вызвать изменение состояния поляризации проходящего через них пучка (способ учета присутствия таких элементов будет изложен в конце 2.4). Предположим, что в резонаторе возбуждена одна из мод, т.е. поле во всем объеме изменяется с течением времени ехр (—/ со t), где собственная частота этой моды. Выбе-рем внутри резонатора какую-либо отсчетную плоскость (плоскость 1 на рис. 2.2) через нее, как и любую другую, проходят навстречу друг другу два составляющих гЛСду световых пучка. [c.64] Наконец, воспользовавшись функцией отклика G(x, y Xi, у 1) системы на рис. 2.2в, которая соответствует полному обходу резонатора и имеет измеренную вдоль оси оптическую длину, вдвое превышающую оптическое расстояние между зеркалами резонатора о мь1 должны прийти к тому же распределению, от которого отталкивались ff G(x, y Xi,yi)ui (Xi, У1) dx I dy I = (j j, 1) это и есть то самое интегральное уравнение резонатора, которое надо решить, чтобы найти собственные функции ( ь У ) и частоты = скт- Если бы мы, составляя интегральное уравнение, начинали обход не от плоскости i, а от 2, решениями полученного при этом другого уравнения оказались бы функции (Х2, у2) с прежними собственными частотами Доказать это математически не так просто, с точки зрения же физики все совершенно очевидно с какой плоскости ни начинать обход, результатом должны явиться одни и те же, заданные во всем объеме, собственные колебания. [c.64] В принципе, чтобы добиться полной аналогии между системой на рис. 2.2в и резонатором, следовало бы еще учесть скачки фазы при отражении от зеркал. Если зеркала металлические, скачок фазы составляет тг ленно благодаря тому, что идущие навстречу друг другу пучки на зерка-тх оказываются в противофазе, здесь и находятся, как известно, крайние узлы образующейся благодаря наложению этих пучков стоячей воды. Поскольку при полном обходе резонатора имеют место два отражения от зеркал, суммарный фазовый набег за их счет составляет 2тг и может быть отброшен. Если концевые зеркала имеют многослойные диэлектрические покрытия, скачки фаз уже не равны тт. В этом случае можно при анализе считать резонатор состоящим не из диэлектрических, а из металлических зеркал, поверхности которых находятся там, где был расположен ближайший к диэлектрическому зеркалу узел поля. Это позволяет ste з тывать скачки фаз на зеркалах и в дальнейшем. [c.65] Обсудим смысл произведенных выкладок и полученных формул. Величина 2к тqLо — 8 явно представляет собой полный фазовый набег на обходе резонатора. Если бы наши пучки были направленными вдоль оси неограниченными плоскими волнами, он составил бы просто Ik qLo-Однако в резонаторах рождаются пучки конечного сечения с мало изменяющейся вдоль оси структурой по причинам, которые обсуждались в 1.2, фазовая скорость таких пучков немного превышает с. Именно это и является причиной фазовой недостачи , равной 6 0. [c.66] Таким образом, собственные частоты определяются, в основном, значением целочисленного параметра q, который называется аксиальным индексом. Взаимосвязь между этим индексом и пространственной структурой моды весьма проста. Уже упоминалось о том, что в результате наложения встречных когерентных пучков образуется стоячая волна. На каждом ее периоде набегает разность фаз этих пучков, равная 2тг отсюда следует, что q Lq j2) является числом периодов стоячей волны на длине резонатора. [c.66] Чтение в целом блестящей работы Фокса и Ли вызывает чувство восхищения и сейчас поэтому не удивительно, что авторы следующей этапной работы - Бойд и Гордон [140] - заимствовали из [164] не только полезные соображения, но и негочнорти. Авторитет первооткрывателей был столь неколебимым, что эти неточности повторяются почти во всех руководствах уже более 25 лет несмотря на то, что выведенные Вайнштейном другим способом и использовавшиеся им интегральные уравнения двухзеркальных резонаторов имели совершенно корректную формулировку. Правильные уравнения были приведены также в [78], однако громоздкий способ вывода этих уравнений и ошибочное утверждение об их совпадении с выведенными Фоксом и Ли привели к тому, что указанная статья не имела особого резонанса. [c.67] Вернуться к основной статье