ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Математическая модель преобразования волновых полей из "Цифровая голография " Рассмотрим математическую модель преобразования волновых полей в голографических системах. Чтобы не усложнять картину, ограничимся несамосветящимися непрозрачными объектами и монохроматическим освещением. [c.7] Функцию Г (g, т], Q можно назвать математической голограммой. Задача синтеза голограмм заключается в вычислении функции Г (g, т], по заданной функции Ь (х, у, z) и регистрации результата в такой форме, которая допускала бы взаимодействие с излучением для визуализации или восстановления Ъ х, у, z) в соответствии с (1.4). Задача анализа голограмм состоит в выполнении преобразования (1.4). [c.8] Вычисление интеграла (1.3), (1.4) представляет собой в общем случае достаточно сложную задачу. Ее удается решить только для очень простых объектов, заданных небольшим количеством отдельных точек или линий [217, 219]. В общем случае приходится прибегать к различного рода упрощениям. [c.8] Первое упрощение, к которому можно прибегнуть без большого ущерба для существа проблемы, состоит в сведении трехмерной задачи к двумерной. Для этого поверхность наблюдения считается плоской, а распределение амплитуды и фазы волны на поверхности объекта заменяется по законам геометрической оптики распределением амплитуды и фазы на плоскости, касающейся объекта или достаточно близкой к нему (чтобы при пересчете амплитуды и -фазы волны можно было пренебрегать дифракцией и пользоваться геометрической оптикой) и параллельной плоскости наблюдения. [c.8] Очевидно, если угол, под которым виден объект с поверхности наблюдения (угол охвата) и площадь наблюдения малы, это естественная аппроксимация. Для задач, где угол охвата должен быть велик, такой подход означает необходимость сведения их к задаче расчета при малом угле охвата. При этом для реализации больших углов охвата поверхность наблюдения можно разбить на небольшие фрагменты, аппроксимируемые плоскостями, и рассматривать голограммы для отдельных фрагментов, каждая из которых представляет часть общего угла и воспроизводит объект под своим ракурсом. [c.8] В соответствии с (1.14) голограмма Френеля — это голограмма Фурье того же объекта, но наблюдаемого через линзу, описываемую множителем ехр [ijt( id) (x + г/ )1, причем сама голограмма Фурье также рассматривается на выходе линзы. Она описывается фазовым множителем ехр m( vd) i 2 j Важно от-мотить, что параметры этих линз не зависят от объекта и голограммы, а определяются только расстоянием d между соответствующими им плоскостями. [c.10] Отметим в заключение, что, перейдя от пространственной задачи к плоской, мы, строго говоря, потеряли возможность точного учета глубины и рельефа объекта. Даже в голограл[му Френеля входит только расстояние от объекта до плоскости наблюдения, а не глубина рельефа объекта. Тем не менее остается возможность синтезировать поле, восстапавливающее в определенных условиях поле вблизи объекта. Что касается передачи рельефа, то он будет передаваться в той мере, в которой он сказывается на пересчете амплитуды и фазы волны на объекте в амплитуду и фазу на касательной к нему плоскости, параллельной соответствующему участку поверхности наблюдения. Как это можно использовать в задачах синтеза голограмм для визуализации инфор.мации, рассмотрено в 5.3. [c.10] Соотношение (1.12) с учетом (1.13) является исходным при машинном синтезе, анализе п моделировании Фурье-гологра1иг. Способ его реализации на ЦВМ в дискретной форме зависит от формы дискретного описания объекта-функции (х, у). Для определенности ниже рассматривается дискретное представление для задачи синтеза голограмт. [c.10] Тем самым задача синтеза Фурье-голограмм объекта (ж, ) сводится к цифровому расчету] матрицы Fg (г, s) по матрице отсчетов (к, I) и двум аналоговым процедурам интерполяции для получения (v , Vy) и интерполяции по восстановленным отсчетам 6j (А , I). Особенности реализации этих аналоговых процедур будут рассмотрены далее. [c.12] ДПФ и МСДПФ родственны друг другу и являются дискретными представлениями интегрального преобразования Фурье 182, 84, 86, 161]. [c.13] Нетрудно понять, что Pj (х, у) описывает профиль объекта ио отношению к этой плоскости. [c.18] При заданных Ах и Ау условия (1.46) определяют миннмаль-ное расстояние, па котором будет правильно восстанавливаться объект. [c.19] Для вычисления ДПФР, кроме матрицы bi k, I), определяющей комплексную амплитуду поля на объекте, необходимо еще задаться и величинами и и v, характеризующими относительные размеры объекта, наблюдаемого из воображаемой точки регистрации голограммы. При их выборе следует руководствоваться условиями (1.46) малости ошибки при дискретизации фазовых множителей. [c.21] Таким образом, исходное ДПФ оказалось сведенным к двум ДПФ, производимым над уменьшенными массивами. Заметим что при такой организации вычислений их результат — коэффициенты ад — получается в так называемом инверсном пopядкe определенном инверсией разрядов в позиционно-численном представлении их номеров по сложному основанию (2.4). [c.29] Существование быстрых алгоритмов преобразования Фурье на матричном языке означает, что матрица FOURjv при составном N факторизуется в произведение так называемых слабо-заполненных матриц. Методы факторизации основываются на следующих определениях, обозначениях и теоремах факторизации. [c.30] Вернуться к основной статье