ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Цилиндр из "Механика хрупкого разрушения " Пусть упругое те ло ограничено бесконечной цилиндрйческой (призматической) поверхностью, свободной от внешних нагру-. зок. Ось Z прямоугольной декартовой системы координат xyz направим вдоль образующей. [c.68] Здесь индексам I, 2, 3 соответствуют х, у, г принимаются обычные соглашения о немых индексах, за исключением одного случая при i — / во втором уравнении оц означает соответствующую компоненту тензора напряжений. [c.68] Здесь Сг — произвольная действительная постоянная, а j произвольная комплексная постоянная. [c.68] Здесь К — произвольное комплексное число, Fm (х, у) — произ-. вольные комплексные функции х я у. [c.69] Подставляем общее решение (3.38) в систему уравнений р.36) и граничные условия после сокращения общего множи- теля получаем на плоскости ху однородную краевую задачу в области 5 для функций Рт(х,у), где 5 —поперечное сечение цилиндра. Решение этой задачи существует только при некоторых (собственных) значениях X и определяется, очевидно, с точностью до произвольных множителей. Таким образом, мы приходим к типичной задаче на собственные значения. [c.69] Легко убедиться непосредственной проверкой, что число Я, = О является собственным значением краевой задачи, а соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных действительных постоянных (при этом используется теорема существования и единственности в классических теориях плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном сечении 5. Получается классическое решение Сен-Венана (растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конечной длины. [c.69] Учитывая этот результат, принцип Сен-Венана в рассматриваемой задаче можно сформулировать так значение А, = О представляет собой единственное чисто мнимое собственное число полученной выше краевой задачи. Действительно, согласно (3.38) лкхбое решение при Re Я, О дает главный вектор и главный момент, которые стремятся или к нулю, или к бесконечности при Z— оо по определению, такое решение не может быть решением Сен-Венана ). [c.69] ЧИСТО МНИМЫМ корнем этих уравнений является нуль. На основании предыдущего, этот результат завершает строгое доказательство принципа Сен-Венана для кругового цилиндра и слоя. [c.70] Здесь и ниже е, ву, вг, e z, вжу —деформации. Интегрируя по порядку (3.39), убеждаемся в периодичности по z функций и, V, W. [c.70] Таким образом, исходное допущение о существовании чисто мнимого собственного числа X — iy, отличного от нуля, неверно. Принцип Сен-Венана доказан. [c.71] Анализируя доказательство, нетрудно заметить, ч то онЪ справедливо для конечного поперечного сечения S любой связности, при наличии угловых точек на контуре сечения, а также в кусочно-однородном случае, когда стержень составлен из призматических (цилиндрических) тел, сделанных из различных материалов и спаянных между собой вдоль боковых поверхностей. [c.71] Решение однородной краевой задачи определяется с точностью до произвольных множителей, которые находятся только из решения более сложной задачи с учетом краевых эффектов. Во всяком случае, на основании (3.38) краевой эффект (разность между строгим решением и решением Сен-Венана) затухает экспоненциально при z- oo, при этом существенно, что показатель при экспоненте вполне определяется формой поперечного сечения S и не зависит от граничных условий на торце. [c.71] Вернуться к основной статье