ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы исследования устойчивости оболочек и определяющие уравнения Виды потери устойчивости упругих оболочек из "Устойчивость тонких оболочек Асимптотические методы " В этой главе кратко обсуждаются различные методы исследования устойчивости оболочек под действием статической нагрузки см. также [1, 7, 10, 14, 21, 24, 37, 38, 40, 91, 131, 146]). В последуюш их главах используется только один из этих методов.) А именно исследуется устойчивость положений равновесия под действием консервативной, поверхностной и краевой нагрузок путем определения критических значений нагрузки исходя из линеаризованных уравнений равновесия. Ниже приводятся эти уравнения. [c.37] Положение равновесия или движения механической системы называется устойчивым, если отклонения от этого положения или движения сколь угодно малы при достаточно малых возмущениях. [c.37] Общим методом исследования устойчивости является изучение возмущенного движения в окрестности невозмущенного. Этот метод (динамический критерий устойчивости) для консервативных механических систем был впервые применен Лагран-жем. А. М.Ляпунов построил строгую математическую теорию устойчивости движения [64]. [c.37] Динамический критерий может быть использован при решении любой задачи устойчивости оболочек. Однако исследование возмущенного движения оболочки является значительно более ложной задачей, чем исследование положений ее равновесия. Поэтому без необходимости динамический критерий редко используется для исследования положений равновесия оболочки. [c.37] Вместе с тем отметим, что в ряде случаев применение динамического критерия устойчивости является единственной возможностью решения. Это задачи устойчивости движения оболочки под действием динамических [22, 57, 108, 109] и неконсервативных нагрузок, такие как движение оболочки в потоке газа [22, 23, 90] параметрическая неустойчивость оболочек [11, 92]. Ниже эти задачи не рассматриваются и динамический критерий устойчивости не применяется. [c.38] Рассмотрим оболочку, нагруженную статическими консервативными поверхностными и краевыми силами. Силы называем консервативными, если работа, совершаемая ими, зависит только от конечного положения и не зависит от пути деформирования. В частности, консервативными будут силы, не меняющие своей величины и направления. Однако этими силами не исчерпывается весь класс консервативных сил. Силы гидростатического давления, направление которых зависит от деформированного состояния, также консервативны. [c.38] Заметим, что для статических неконсервативных сил надежные результаты дает только динамический критерий [И, 92, 134]. [c.38] Возвратимся к нашей задаче. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Действительно, в силу теоремы Кирхгофа [51] задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений (внешние силы и заданные перемещения на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено (см. 1.10). [c.38] связанными с различием систем координат до и после деформации. По поводу устойчивости, оболочек в физически нелинейной постановке см. [37, 53, 87]. [c.39] Как и для любых упругих систем, для оболочек можно говорить о двух видах потери устойчивости равновесия [5]. Первый из них связан с бифуркацией (или ветвлением) положений равновесия, а второй — с появлением предельной точки. [c.39] На рис. 2.1 схематически показана зависимость нагрузки Р от характерного прогиба w. Рассмотрим рис. 2.1. Пусть нагрузка плавно возрастает от нуля, оставаясь меньше Р . Положение равновесия устойчиво, если прогиб определяется единственным образом (участок ОВ на рис. 2.1). При Р-Р в окрестности точки В, кроме основного положения равновесия ВД появляется одно или несколько смежных положений равновесия BE. Точка В называется точкой бифуркации положений равновесия. [c.39] Положения равновесия в окрестности точки В могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. На рис. 2.1 неустойчивые положения равновесия показаны штриховой линией. Основное положение равновесия BD, как правило, неустойчиво. На рис. 2.1а показано устойчивое положение равновесия BE после бифуркации. На рис. 2.16 показан случай, когда устойчивых, близких к точке В — точке потери устойчивости, положений равновесия нет. При Р-Р близкие положения равновесия неустойчивы. [c.39] На рис. 2Лв показана зависимость, когда при плавном увеличении нагрузки по мере приближения к Р прогибы резко возрастают, т. е. [c.40] В точке С происходит потеря устойчивости, участок кривой D состоит из неустойчивых положений равновесия. При нет близких положений равновесия. Перестройки формы прогиба не происходит, а имеет место лишь рост ее амплитуды при приближении Р к Р . Точка С называется предельной. [c.40] Приведем характерные примеры. По схеме рис. 2.1а теряет устойчивость круговая цилиндрическая оболочка при равномерном внешнем давлении, по схеме рис. 2.16 — круговая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии, по рис. 2.1в про-щелкивает выпуклая пологая оболочка под действием нормальной нагрузки. [c.40] Полная картина деформирования тонкой оболочки при больших перемещениях значительно сложнее, чем показано на рис. 2.1. Во-первых, участок BD содержит, кроме точки В, другие точки ветвления. Далее, участки BE, D могут содержать точки вторичного ветвления и т. д. Среди этих положений равновесия будут как устойчивые, так и неустойчивые, причем переход из одного устойчивого положения равновесия в другое может совершаться как непрерывно (точка В на рис. 2.1а), так и скачком (точки В и С на рис. 2.16, в). [c.40] Вместе с тем знание детальной картины послекритического поведения оболочки для расчета инженерных конструкций, как правило, не является необходимым, ибо при этом оболочка уже не работает в расчетном режиме. Исключение составляют ободочки типа сильфонов, которые работают в режиме больших перемещений. [c.41] Выход из этого кризиса теории устойчивости оболочек найден в необходимости учета малых неправильностей (в основном) формы срединной поверхности, по отношению к которым, как выяснилось, критическая нагрузка очень чувствительна. [c.41] Вернуться к основной статье