ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О нестационарных течениях газа, примыкающих к области покоя из "Избранные труды " Хорошо известно, что одномерное плоское неустановившееся течение баротропного газа, граничащее с областью неподвижного газа, является простой волной (см. [1]). В этом случае область возмущенного газа и область покоя разделяются слабым разрывом плоской формы, вдоль которого первые или более высокие производные плотности и компонент вектора скорости испытывают скачок. [c.86] В задачах же о примыкании к области неподвижного газа через произвольный криволинейный слабый разрыв в плоском случае или через слабый разрыв, являющийся некоторой криволинейной поверхностью, в пространственном случае течение возмущенного газа уже не будет, вообще говоря, принадлежать к классу простых волн. Это следует хотя бы из того факта, что поверхностями уровня основных газодинамических величин в случае простых волн могут быть либо прямые (в плоском случае), либо плоскости (в про странственном случае, см. [2, 3]). [c.86] Попытка использовать для описания течений за произвольным слабым разрывом теорию двойных и тройных волн (см. [4, 7]), как увидим дальше, также в общем случае не приводит к цели. О течении, примыкающем к области покоя через произвольный слабый разрыв (в дальнейшем будем всегда считать его достаточно гладким), в самом общем случае можно сказать лишь, что оно будет потенциальным. Свойство потенциальности можно легко вывести, например, из кинематических условий совместности, которые должны выполняться вдоль поверхности разрыва. [c.86] Однако, если в плоском случае рассматривать течения, удовлетворяющие в окрестности слабого разрыва некоторым условиям гладкости, то можно при помощи потенциальных двойных волн получить приближенные решения в некоторой окрестности произвольного криволинейного слабого разрыва. Исследование задач для уравнений двойных волн, возникающих при таком примыкании, а также вопросов применения решений, полученных при помощи двойных волн, для построения картины течения в окрестности произвольного слабого разрыва и является целью данной работы. При этом будет рассмотрен случай, когда производные от плотности р и от компонент вектора скорости щ на слабом разрыве немалы, и, следовательно, акустического приближения недостаточно. [c.86] Заметим, что в про странственном случае двойные волны заведомо не годятся, так как поверхностями уровня р и щ в классе двойных волн могут быть лишь линейчатые поверхности, а рассмотрение тройных волн затруднено тем, что они описываются переопределенной системой нелинейных уравнений в частных производных сложной структуры. [c.86] Здесь р — давление, 7 — показатель адиабаты, с — скорость звука. [c.86] Будем считать, что в области покоящегося газа (щ = 0) с = 1, а в возмущенной области щ отнесены к невозмущенной скорости звука, t измеряется в секундах и для Хг выбраны соответствующие единицы. [c.86] математика и механика. 1966. Т. 30, вып. 1. С. 164-176. [c.86] Здесь Ф — потенциал скоростей, а нижние индексы г и 99 обозначают дифференцирование по г и по 99 соответственно. [c.87] Уравнения (1.1) и (1.2) могут быть легко получены из системы (0.1) - (0.3) при помощи интеграла Коши (см., например, [7]) в предположении, что существует зависимость с = (ui, U2), а ш и U2 функционально независимы (в [4, 5] потенциальность течения не предполагалась). Уравнения (1.3) служат для построения течения в физическом пространстве xi,x2,t после того, как определены функции 9 м Ф. [c.87] Предельные значения 9i и Ф,. зависели бы от закона приближения ui, U2) к точке (О, 0), так как в противном случае точке ui = О, U2 = 0,0 = 2/(7—1) не соответствовала бы некоторая поверхность слабого разрываuj(xi,x2,t) = О в физическом пространстве. [c.87] Везде далее будем предполагать, что вне поверхности слабого разрыва -ui и U2 функционально независимы, т е. окрестность точки (О, 0) в плоскости годографа, отвечающая в классе двойных волн области течения в пространстве x x2t вблизи поверхности разрыва, однозначно отображается (кроме точки (О, 0)) на плоскость пр. [c.88] Можно показать, что если производные щ и с испытывают на поверхности слабого разрыва uj xi x2 t) = О конечный скачок, а течение через слабый разрыв примыкает к покою, то в любой момент времени t = to касательные к мгновенным линиям тока течения в точках поверхности слабого разрыва ортогональны к этой поверхности. Этот факт не зависит от принадлежности течения к классу двойных волн. [c.88] При а = О и а = оо рассмотрение проводится аналогично. [c.88] Величина вг непрерывна при г = О, и поэтому всегда необходимо рассматривать два случая = 1 и = 1. [c.89] Рассмотрим класс решений уравнений двойных волн, для которых в окрестности г = = О непрерывны все четвертые производные функции в, содержащие дифференцирование дважды по г и дважды по tp. Изучим поведение решений этого класса при г = 0. [c.89] Условия (1.11) определяют в окрестности г = О некоторое семейство решений уравнения (1.14), а следовательно, и у уравнения (1.1) имеется семейство решений, удовлетворяющих (1.11), так как уравнение (1.14) можно получить из (1.1), просто предположив, что 9 не зависит от 99. [c.90] Здесь С ip) — произвольная функция р. [c.90] Задавая из геометрических соображений при 99 = О какую-либо точку (xi,Z2) = = (а, 5), начальное условие для (1.25) можно брать в виде 11(0) = а. [c.91] Вернуться к основной статье