ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О движении сжимаемой жидкости в плоских каналах с подвижными стенками из "Избранные труды " Течения типа двойных воли для плоских и пространственных движений политропного газа изучались в работах [1 6]. В этих работах, в основном с использованием свойства потенциальности течений, выведены уравнения, описывающие движения типа двойных волн, и рассмотрен ряд приложений теории этих течений к решению конкрет ных газодинамических задач. [c.63] Рассмотренные в [1] течения могут быть использованы при решении задач об установившемся обтекании невозмущенным сверхзвуковым потоком некоторых спе циальных поверхностей. В [5] и [6] теория плоских двойных волн применялась для построения течений за несимметричными ударными и детонационными волнами постоянной интенсивности. [c.63] математика и механика. 1963. Т. 27, вып. 4. С. 719-725. [c.63] Ниже рассматривается новое приложение теории плоских двойных волн также в предположении потенциальности течения. Оказывается, что в классе двойных волн возможно примыкание через неподвижную характеристику установившихся плоских течений изотермического и политропного газов к нестационарным плоским течениям типа двойных волн. Это обстоятельство позволяет в предположении гиперболичности изучаемых систем уравнений (рассматриваются сверхзвуковые потоки) поставить ряд граничных задач в плоскости годографа для скорости звука ui,u2) (щ, U2 — компоненты вектора скорости и) и потенциала U2). [c.64] Поставленные задачи в некотором смысле аналогичны основным краевым задачам для плоских установившихся потенциальных течений в криволинейных каналах ([9]). Если для установившегося течения скорость звука можно найти из уравнения Бернулли, то в данном случае вместо уравнения Бернулли приходится рассматривать нелинейное уравнение второго порядка для скорости звука ui U2) в плоскости годографа, известное из теории двойных волн (см. [3, 4]), и для этого уравнения необходимо решать граничные задачи типа задачи Гурса или смешанной задачи. [c.64] При этом в основном рассматривается случай, когда распределение скоростей вдоль линии подвижной стенки и вдоль линии, разделяющей области стационарного и нестационарного течений, изображается в плоскости годографа неподвижной во времени кривой /1( 1, U2) = 0. [c.64] Поставленные граничные задачи позволяют в принципе получать решения, описывающие движения газа в криволинейных каналах, стенки которых до некоторого места неподвижны, а затем двигаются по определенному закону, так что течение в части физической плоскости, ограниченной неподвижными характеристиками, проходящими через последние неподвижные точки стенок канала, стационарно, а в области за характеристиками нестационарно. [c.64] В качестве иллюстрации для изотермического газа методом Массо решена задача о примыкании через неподвижную характеристику к стационарной простой волне нестационарной двойной волны. [c.64] В дальнейшем будем предполагать, что К О, т. е. что тип уравнений (1.1) и (1.2) гиперболический и имеются вещественные характеристики, одни и те же для обоих уравнений. Рассмотрим следующую задачу . [c.65] Если кривая, м2) = О вырождается в точку щ f + с о, то общей линии в физической плоскости между течениями нет. Особняком стоит случай i = С2 = О, для которого в [6] показано, что к области покоя может через подвижный слабый разрыв примыкать неустановившаяся двойная волна. Этот случай в данной статье не рассматривается. [c.65] Отметим попутно, что М. Бурнат в работе [7] построил пример примыкания к области по стояииого плоского движения нестационарного потока, но в классе простых волн. В данном рассмотрении возможности конструирования нестационарных течений, как мы увидим ниже, значительно шире. [c.65] Характеристика в плоскости годографа, определяемая первым уравнением (1.8), где в подставляется из интеграла Бернулли (1.5), совпадает с соответствующей харак теристикой стационарного движения и, следовательно (см. [9]), будет эпициклоидой. [c.66] Отметим еще одно свойство. Будем рассматривать случай, когда движению подвиж ной стенки соответствует фиксированная кривая в плоскости годографа. [c.66] Теорема. В классе нестаг ионарных плоских течений типа двойных волн не суще-ствует неподвижных криволинейных стенок с постоянным во времени распределением скоростей K ui u2) = 0. [c.67] Действительно, пусть такая стенка нашлась и кривой K ui u2) = О соответствуй ет некоторая цилиндрическая поверхность в пространстве Х2, t. Тогда из наличия прямолинейных образующих, принадлежащих этой поверхности, вдоль которых посто ЯННЫ щ и 2, следовало бы, что нормали к линии стенки постоянны, а, следовательно, форма стенки прямолинейна. [c.67] Первое условие (2.10) определяет некоторую зависимость F ui 2, 2,0) = с = = onst вдоль линии (2.3) для уравнения (1.1), причем константа с должна быть найдена из условий сопряжения в точке, где неподвижная стенка канала переходит в подвижную. Точно также, после нахождения функции 9(iii, U2), условие (2.10) определяет вдоль линии (2.3) некоторую зависимость Ф(м1, 2, Ф , Ф2) = onst для уравнения (1.2). [c.67] Заметим, что в случае установившегося течения первое уравнение (2.10) выполняется автоматически (так как = 0), а второе уравнение (2.10) выражает тот факт, что вдоль неподвижной стенки нормальная составляющая вектора скорости равна нулю. [c.68] Таким образом, общую картину движения в плоскости годографа можно представить в таком виде (рис. 1). [c.68] После решения смешанных задач в областях A R и BRD находится решение задачи Коши в областях АЕС и BDF, ограниченных характеристиками АЕ, ЕС и BF, FD с начальными данными на линиях АС и BD. В области R OD решается задача с начальными данными на двух характеристиках R и RD. [c.68] Вернуться к основной статье