ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые точные решения нестационарной двумерной газовой динамики из "Избранные труды " Таким образом, указанным методом можно получать точные решения некоторых газодинамических задач с ударными волнами и в адиабатическом случае. [c.55] рассмотренный метод дает возможность решать в некоторых случаях как для изотермического, так и для политропного газа задачи о движении криволинейных поршней, которые гонят перед собой ударную волну, в предположении достаточной гладкости в некотором смысле формы поршня для начального момента времени. Таким образом, можно получить некоторые обобщения решения Л.И. Седова о расширяющемся с постоянной скоростью цилиндрическом поршне [2] для криволинейных поршней. Эти вопросы будут рассмотрены в последующей статье. Полученные точные решения могут быть использованы, кроме того, как критерии точности некоторых численных методов. [c.55] В заключение приношу благодарность Н. Н. Яненко за внимание и ценные критические замечания. [c.55] В работах [1,2] исследовались не стационарные двумерные течения политропного газа, имеющие в пространстве xi, х 2, t прямолинейные характеристики (компоненты вектора скорости ui, U2 и с — скорость звука постоянны вдоль прямых). [c.55] В работе [3] исследовалось определение решений в этом классе течений при наличии ударных волн в предположении, что движение за фронтом волны изэнтропично. Основным свойством ударных волн в указанном классе течений будет постоянство их интенсивности как для изотермического, так и для адиабатического газов. Форма же фронта ударных волн может быть, вообще говоря, произвольной (фон, по которому распространяется ударная волна, предполагается покоящимся политропным газом с постоянными ненулевыми плотностью и давлением). [c.55] математика и механика. 1962. Т. 26, вып. 2. С. 380-386. [c.55] 1 настоящей статьи рассматриваются вопросы нахождения решений в области между криволинейной ударной волной и подпирающим ее криволинейным поршнем, давление вдоль которого постоянно во времени. Получено обобщение известного автомодельного решения Л.И. Седова задачи о расширении с постоянной скоростью цилиндрического поршня в газе [4]. [c.56] 2 изучаются течения за расходящимися криволинейными нормальными детонационными волнами, причем полученные решения справедливы в некоторой области за детонационной волной, ограниченной с одной стороны линией фронта детонационной волны, а с другой стороны либо линией слабого разрыва (подобно тому, как это имеет место в одномерном автомодельном случае в решении Я.Б. Зельдовича 3]), либо предельной линией, являющейся линией вырождения годографа скоростей. Устойчивость и единственность решений в настоящей заметке не рассматриваются. [c.56] Здесь D — нормальная скорость фронта ударной волны. [c.56] Здесь А — произвольная постоянная. Начальные условия для (0.9) должны выбираться в соответствии с (0.7), (0.8). [c.57] Заметим еще, что уравнение (0.3) можно вывести из уравнений цилиндрического автомодельного движения, если имеет место интеграл адиабатичности (см. [4]). [c.57] И 0 1 при условии D 7, что всегда выполняется, так как — скорость звука в невозмущенном газе. [c.57] Следовательно, уравнение (0.3) с начальными условиями (1.3) необходимо интегрировать в сторону возрастающих г до такого г d, что обратится в нуль. [c.58] В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая поршней со скольжением. [c.58] Будем исследовать случай, когда фронт ударной волны имеет форму симметричной относительно обеих осей замкнутой гладкой фигуры. В силу замкнутости и симметричности необходимо в уравнениях (0.9) положить Л = (2т) , m = 0,1, 2. или Л = 1 (линии Х1=0иХ 2 = 0 будем считать жесткими стенками). [c.58] На этом простейшем примере выясним особенности, которые могут возникнуть в изучаемом классе течений с поршнями и ударными волнами. [c.58] Форму ударного фронта будем задавать при t = 1. Известное решение Л.И. Седова [4] о расширении из точки цилиндрического поршня с постоянной скоростью получается, если положить Ь = 0иФ°=0. [c.58] 18) вытекает, что для достаточно малых (но конечных) Ь при всех г ш (р и t 1 якобиан J(r, ip t) не обращается в нуль. Тем самым полностью определено решение в области между фронтом ударной волны и линией поршня, справедливое для t 1. [c.59] Отметим, что, если рассматривать t 1, гарантировать условие J(r, ip t) ф О нельзя. Если в решении Л.И. Седова поршень начинает двигаться из точки и в начальный момент линия поршня и линия фронта ударной волны совпадают, то в данном случае двигать волну и поршень назад до совпадения нельзя (для некоторого t обращается в нуль J(г, ip t)). Это обстоятельство естественно, так как и в одномерном случае при расширении цилиндрического поршня с некоторого ненулевого радиуса в начальный момент времени возникает движение, вообще говоря, не автомодельное и только для достаточно больших t оно выходит на автомодельный режим. В данном случае течение, возникающее сразу же после расширения некоторой криволинейной цилиндрической поверхности, давление вдоль которой постоянно, также, вообще говоря, не будет принадлежать к рассматриваемому классу течений с прямолинейными характеристиками и следует ожидать, что только по истечении некоторого времени после начала движения оно выйдет на соответствующий режим. [c.59] Отметим, что полученное решение при t оо, переходит в решение Л.И. Седова. [c.59] Вернуться к основной статье