ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аналитические методы математической физики и математический эксперимент из "Избранные труды " Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13] Число и мысль. Вып. 10. — М. Знание, 1987. — С. 75-100. [c.13] НОИ оперативной памяти время не прогнозируется, и решение такого типа задач остается в настоящее время открытой проблемой. [c.14] Целью этой статьи является изложение некоторой идеологии возможных путей развития эффективных подходов к решению сложных нелинейных задач математической физики и выработки стратегии получения решений, основанной как на сочетании чисто вычислительных методов, так и на применении некоторых аналитических конструкций и результатов исследования качественных и аналитических особенностей нелинейных задач механики сплошной среды. В связи с этим будет рассмотрен также вопрос о теоретической подготовке математика-вычислителя, которая необходима для успешной работы в области решения задач инженерно-физического плана и эффективного использования современных ЭВМ для математического моделирования и прогнозирования параметров проектируемых машин и аппаратов. [c.14] Как правило, под такими методами подразумевают прежде всего какие-либо способы представления решений некоторого класса дифференциальных задач с начальными условиями или краевыми условиями в виде математических объектов с простой структурой в виде аналитической формулы, в виде некоторого интеграла от известной функции — квадра,туры, достаточно быстро сходящегося или носящего асимптотический характер ряда с последовательно вычисляемыми коэффициентами. В первых двух случаях, пользуясь стандартными методами численного анализа, можно при любом фиксированном наборе входных параметров получить решение с заданной степенью точности за очень малое время ЭВМ, иногда это удается сделать и в третьем случае. Часто в первых двух случаях или в случае сходящегося ряда говорят о построенных точных решениях. В последнее время под термином получено точное решение понимают и ситуацию, когда задача сведена к интегрированию системы небольшого количества обыкновенных дифференциальных уравнений при условии отсутствия особенностей (конечный промежуток интегрирования, достаточно гладкие коэффициенты и т. п.). Такого типа задачи можно практически с произвольной точностью (снова при фиксированном наборе входных параметров) решить на ЭВМ с помощью стандартных численных методов за сравнительно короткое время. [c.14] Ценность классов, точных в указанном выше смысле, решений определяется мно гими факторами. Прежде всего важна физическая содержательность таких решений. Для целого ряда физических и механических явлений удается получить аналитические решения и дать их подробный анализ (несколько таких ситуаций будет описано в разделе II), хотя, конечно, их построение — редкая удача. Знание аналитического представления решения особенно ценно при большом количестве входных парамет ров тогда обычно легко проанализировать свойства такого решения и использовать его с целью оптимизации каких-либо характеристик. Если решения содержат различные особенности, в частности физического плана (например, ударные волны, контактные разрывы, пограничные слои в механике газа и жидкости), их естественно использовать и в качестве тестов при исследовании точности приближенных численных методов. Знание типовых аналитических представлений, передающих локальные особенности возникающих в физической задаче решений, очень существенно также для повышения эффективности и качества численных расчетов, когда эти особенности выделяются аналитически явно и рассчитываются лишь достаточно гладкие поля физических величин. [c.15] Кроме выше перечисленных, относительно простых математических объектов, описывающих различные типы точных решений, аналитические методы позволяют рассмотреть еще очень широкий круг вопросов. Здесь в числе первых следует отметить методы понижения размерности задачи и методы качественного и частично количественного изучения свойств решений дифференциальных уравнений. Под методами понижения размерности понимают методы, позволяющие получить описание данного класса явлений с помощью уравнений, которые содержат меньшее по сравнению с исходной задачей число независимых переменных. Даже если число уравнений при этом увеличивается, сокращение числа независимых переменных, хотя бы на одну, позволяет существенно более точно и экономично решать такие задачи на ЭВМ. Понятно, что большая часть возникающих в практике задач нестационарна и трехмерна. Решать же трехмерные задачи даже на самых современных ЭВМ чрезвычайно сложно и трудоемко, в этой ситуации часто говорят о проклятии размерности . Поэтому ясно, что сведение трехмерной задачи хотя бы к двухмерной представляет очень большую ценность. [c.15] Аналитические методы качественного изучения особенностей и гладкости решений также весьма важны для отбора и конструирования численных алгоритмов решения соответствующих задач, которые надежно описали бы возникающие нерегулярности решений. Априорное знание таких нерегулярностей особенно важно при построении адаптирующихся алгоритмов, о которых речь будет идти далее. [c.15] В областях той или иной гладкости решений многомерной задачи знание хороших аппроксимирующих агрегатов (базисов), построенных часто с помощью аналитических конструкций, передающих основные закономерности дифференциальной задачи, позволяет решить еще одну весьма важную задачу — об экономичном представлении информации, полученной в результате численного решения сложной многомерной задачи. Иногда линейные комбинации или рациональные дроби из удачных базисных функций позволяют при ограниченном наборе коэффициентов разложения построить достаточно точную аппроксимацию параметров физических полей в трехмерных задачах. [c.15] Таким образом, вышесказанное позволяет утверждать, что и в настоящее время, несмотря на мощный и бурный рост возможностей вычислительной техники, знание, учет и развитие возможностей аналитических методов необходимы, в частности, при решении весьма сложных многомерных задач. [c.15] Методы второго типа связаны прежде всего с представлениями решений различного рода рядами. Они позволяют рассмотреть весьма широкий круг задач, а в ряде случаев сконструировать и общее решение. [c.16] Основные уравнения механики сплошной среды нелинейны. Отметим прежде всего принципиальную разницу между методами решения линейных и нелинейных задач. Для однородных линейных уравнений работает принцип суперпозиции произвольная линейная комбинация частных решений линейного уравнения снова является решением исходного уравнения. Применение этого принципа позволяет строить решения с функ циональным произволом (если известны частные решения, зависящие от параметров) и тем самым решать широкий круг задач. Развитые для линейного случая методы ин тегрирования уравнений с постоянными коэффициентами, уравнений, коэффициенты которых не зависят от одного или нескольких независимых переменных, методы нахо ждения фундаментальных решений и еще целая серия [2] других методов, получили очень широкое распространение. Однако все они оказались фактически неприменимы к решению нелинейных задач. Отсутствие принципа линейной суперпозиции и каких либо других достаточно общих конструктивных принципов чрезвычайно осложняет аналитическое исследование нелинейных задач. [c.16] Не ставя перед собой задачу дать сколько-нибудь полное представление о разра ботанных на сегодняшний день методах исследования нелинейных задач, попытаемся все же кратко изложить основные, с нашей точки зрения, подходы, которые доста точно широко используются в настоящее время. Конечно, сколько-нибудь детальное изложение этой темы в рамках данной статьи невозможно, но некоторые идеи, ис пользуя минимальное число формул, мы попробуем очень кратко осветить и указать соответствующие источники, предполагая (как и до этого раздела), что о стандартных математических объектах (рядах, обыкновенных дифференциальных уравнениях и т. п.) у читателя имеется представление. [c.16] Начнем с методов I типа. Как уже говорилось, получение классов точных решений возможно лишь для конкретных систем уравнений и хронологически впервые, пожалуй, такие физически содержательные решения были получены для уравнений гидродинамики и газовой динамики Риманом [3]. Риман, в частности, рассматривал нестационарные дви жения несжимаемой жидкости, в которых компоненты вектора скорости линейны по про странственным координатам, и применял их к изучению движения жидкого эллипсоида. [c.16] В дальнейшем в большой серии работ были получены широкие обобщения решений такого типа как на случай движения сжимаемых сред [4, 6], когда построенные решения были использованы для изучения эволюции гравитирующих газовых эллипсоидов, так и на случай, когда свойство линейности также в сжимаемой среде имеется лишь по части пространственных переменных [6]. Здесь удалось осуществить процедуру сокращения размерности исходной задачи, а также получить серии точных решений, описывающие движения некоторых типов закрученных потоков газа. [c.16] Работа Римана [3] инициировала также очень большую серию работ по так на зываемым бегущим волнам в механике сплошной среды, в первую очередь в газо вой динамике [7]. В основе метода конструирования различных бегущих волн лежит предположение о функциональной зависимости между некоторыми искомыми функ циями, описывающими поля физических величин. Это предположение приводит к пе реопределенной систем уравнений с частными производными, анализ совместности которых для конкретных систем уравнений механики позволил получить классы точных физически содержательных решении и в ряде случаев понизить размерность задачи. [c.16] Очень широкое распространение в механике и физике получили так называемые автомодельные решения, характеризующиеся существованием некоторых комбинаций независимых переменных (автомодельных переменных), которые соответствуют опре деленным свойствам подобия или инвариантности рассматриваемых классов физи ческих решений. Методы анализа размерностей физических величин, определяющих задачу, позволили [8] осуществить понижение размерности для весьма широкого круга физических и механических задач. Особенно эффективным в конструктивном плане оказалось в ряде ситуаций сведение сложной исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой в качестве независимой переменной высту пает автомодельная переменная. Это позволило получать классы точных решений в замкнутой форме, например, знаменитое решение газодинамической задачи о точечном взрыве [8], и осуществить качественный и детальный количественный анализ важных задач в неинтегрируемых случаях. [c.17] Наиболее развитый в настоящее время систематический подход к классификации и получению широких классов точных решений связан с применением групповых методов анализа дифференциальных уравнений [9]. Знание допустимых групп преобразова ний независимых переменных и искомых функций, оставляющих инвариантными ин тегральные многообразия исходной системы (переводящих интегральную поверхность в интегральную же поверхность), позволяет построить широкие классы точных инва зиантных решений (частным случаем их являются автомодельные решения), построить некоторые классы частично инвариантных решений (такими являются, например, бегущие волны), дать классификацию различных типов решений. [c.17] Другим методом получения точных решений и сокращения размерности задач является метод дифференциальных связей [7]. Исходная система уравнений пополняется дополнительными дифференциальными или другими соотношениями-связями, накла дывается априори требование, чтобы полученная переопределенная система обладала каким-либо заданным функциональным произволом, и осуществляется анализ совмест ности полученной системы уравнений. Таким путем в работе [7] был построен ряд точных содержательных решений механики сплошной среды. [c.17] Вернуться к основной статье