ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормализация двумерных гамильтоновых систем (резонансный случай) из "Метод усреднения в прикладных задачах " Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228] Рассмотрим автономную гамильтонову систему (1) с двумя степенями свободы [п — 2), функция Гамильтона которой записана в виде ряда (129) с членами вида (95). [c.228] Для нахождения нормализующей матрицы N воспользуемся алгоритмом Сокольского [178]. Искомая матрица N линейного нормализующего преобразования (161) должна, во-первых, приводить матрицу А к виду А, т. е. [c.229] Для замыкания алгоритма приведем аналитический способ вычисления собственных и присоединенных векторов в случае простых собственных значений и при наличии резонансов первого п второго порядков [3]. [c.229] Тогда за вектор Rt можно принять любой ненулевой столбец матрицы (170), а за i l —столбец с тем же номером в матрице (171). Векторы J 2 и Sz нолучаются аналогичным образом из формул (170), (171) после замены (о, iia (О2 и (Ог на Wi. [c.230] Тогда в качестве вектора в (181) можно принять любой ненулевой столбец матрицы (182), а за а — столбец с тем же номером в матрице (183) см.[181]. [c.232] Случай одной пулевой частоты с простыми элементарными делителями и случай двух пулевых частот рассмотрены в работах [178, 182]. [c.232] Остальные коэффициенты тригонометрических многочленов из выражения (186) получаются из (193), (194) двусторонней заменой Si 2 и Vi4- -V2, М-1ч- -(Л2 в /ivj,v2HiHa (аналогично (190), (191) получаются из (189), (188)). [c.235] Вернуться к основной статье