ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод нормализации Хори — Денри из "Метод усреднения в прикладных задачах " Канонические системы (1) являются частным случаем систем с медленными и быстрыми переменными, поэтому изложенные в гл. I результаты, естественно, применимы и к ним. Если при этом мы хотим, чтобы преобразование х, у) (х, у ) было каноническим, необходимо строить замену переменных таким образом, чтобы выполнялось условие Якоби—Пуанкаре (соотношения (6), (8), (9)). [c.204] Следует заметить, что при исследовании канонических систем метод усреднения особенно эффективен, когда либо гамильтониан периодичен по угловым переменным у, либо существует интегральное среднее гамильтониана но t (если Н зависит явно от t). [c.204] Здесь повторяется ситуация, рассмотренная в предыдущих главах процедура усреднения может быть достаточно эффективной в случае исследования колебательных процессов, описываемых периодическими или условно-периодическими функциями. Некоторые вопросы применимости метода усреднения к каноническим системам решены в работах [8, 12, 29, 31, 125, 168]. Здесь мы изложим в некотором смысле более общий алгоритм реализации метода усреднения для уравнений (1). [c.205] Если гамильтониан Н(х, у) зависит от х, у так, как указано в (56), то канонические переменные х, у называются переменными действие — угол [158, 159]. Они играют особую роль в механике и допускают наглядную геометрическую интерпретацию, аналогичную той, которая описана в гл. Ш. [c.205] Невырожденность матрицы Гесса (Аг= 0), как мы увидим дальше, играет существенную роль в методах асимптотического интегрирования канонических систем. [c.205] Таким образом, ставится следующая задача найти невырожденное, дважды непрерывно дифференцируемое каноническое преобразование х, у)- (х, у), которое переводит (1) в интегрируемую систему (59). [c.206] что в общем случае такая замена не существует, однако ее отыскание в виде расходящихся асимптотических рядов представляется целесообразным и для практики часто конструктивным. [c.206] Формула (70) применима, если отсутствуют резонансные соотношения вида (/с, ш( ))=0 В противном случае следует применить в полном объеме алгоритм решения, изложенный в 1.7. [c.207] Отметим лишь тот факт, что здесь сразу возникает проблема малых знаменателей (см. формулу (76)), которая и приводит к расходимости рядов (69). [c.207] В отличие от алгоритма определения произвольных функций 2(5 ), Вг х),. .., изложенного в гл. I и гарантирующего существование периодического по у преобразования Крылова — Боголюбова (69), здесь следует учесть одно из условий каноничности преобразования х, у)- х, у). [c.207] Рассмотрим два случая. [c.208] Преобразование Крылова — Боголюбова определяется из уравнений (70) —(74), которые интегрируются непосредственно до любого индекса, а функции ft(i), Вз х),. .. определяются формулами вида (77), означающими, что средние значения по у правых частей уравнений для Vi x, у), Vi x, у) и т. д. равны нулю. [c.208] Таким образом, замена переменных (81) преобразовывает неавтономную каноническую систему (1) в автономную каноническую систему (59) с правыми частями (79), которая, к сожалению, пе обладает свойством разделения переменных, но более удобна для исследования, в частности для отыскания равновесных (стационарных) решений. [c.209] Интегрировацие системы (82) — (85) и т. д. представляет собой сложную задачу, и в общем случае ояо не может быть выполнено в аналитическом виде. Однако в том случае, когда существуют интегральные средние по времени от правых частей, можно применить для ее интехрирования алгоритм, изложенный в 3.7. [c.210] Можно считать, что замена переменных вида (69) с добавлением к ней условий каноничности является нормализующей для канонической системы с гамильтонианом (56), а нормализованный гамильтониан (67) является наиболее простым, так как преобразованная каноническая система стала интегрируемой. Однако, как подчеркивалось, преобразование (69) является, вообще говоря, расходящимся, и, следовательно, вопрос о существовании таких нормализующих канонических преобразований остается открытым. [c.211] В заключение заметим, что во многих задачах процедура нормализации гамильтонианов применяется для того, чтобы их привести к виду (56), т. е. к тому виду, который был исходным, для метода усреднения. [c.211] Решение уравнений в частных производных (92), (93) в конкретных задачах часто представляет собой значительно более простую задачу, чем решение пеусредненных уравнений (38), (91). Однако в общем случае остается неясным вопрос о близости решепий первоначального и усредненного уравнения Гамильтона — Якоби, так как обоснование метода усреднения, примененного непосредственно к уравнениям в частных производных, далеко от завершения. [c.212] Упрощение (или нормализация) гамильтонианов, конечно, пе является самоцелью. Приведение гамильтониана к нормаль-1ЮЙ форме часто позволяет эффективно решить вопрос об устойчивости или неустойчивости частных рентений гамильтоновых систем (положений равновесия, периодических или условно-периодических решений). [c.212] В (107) первое слагаемое означает скобки Пуассона, а пе скалярное произведение, так как функции Яг и / являются скалярными. [c.214] Вернуться к основной статье