ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ОГЛАВЛЕНИИ Асимптотические методы в теории канонических систем из "Метод усреднения в прикладных задачах " Именно этот сложный механизм проявляется при построении практически любого варианта асимптотической теории возмущений для многочастотных систем дифференциальных уравнений. [c.100] Тором (м-мерным) называется,поверхность, образующаяся в результате прямого произведения п окружностей j X. .. X С (см. [86, 87]). [c.100] При п — 2 мы получаем двумерный тор, который представляет собой не что иное, как бублик (рис. 5). Если обозначить через R, г радиусы окружностей i и Сг, то в двумерном торе iX t радиус R определяет размеры его горизонтального сечения (рис. 6), г —размеры ноперечного сечения (рис. 7). [c.100] Таким образом, в зависимости от арифметических свойств вектора частот а х) траектория н торе может быть представлена периодической функцией (если имеется резонанс частот) или условно-периодической функцией с п частотами. [c.101] Приведенные соображения справедливы, если однажды вычисленные частоты oi)i(,r ),. .., ю (а ) в дальнейшем остаются постоянными, как это имеет место для порождающего решения (1.94). Если же предположить, что x t, р.) — медленно изменяющая функция времени, то логически возможны такие варианты, когда резонансные и нерезонансные ситуации могут чередоваться, и, следовательно, некоторые участки траектории точки на торе будут периодическими, а другие — условно-перио-днческими функциями времени. [c.101] Известно, что dn z является периодической функцией, поэтому Xi t), Xiit) также будут периодическими. Функции ага и и am t являются почти линейными (с точностью до р, функциями времени, поэтому yi t), г/г (О изменяются почти линейно. В пространстве переменных х, у движение точки изображается траекторией на периодически пульсирующем торе, при этом п — 2 угловых координат г/з( ),. yn t) являются линейными функциями времени, а две угловые координаты yi t), yi t)—почти линейными функциями времени. [c.104] Таким образом, решение многочастотнон системы с медленными и быстрыми переменными может быть интерпретировано как движение точки па торе, размерность которого совпадает с размерностью п вектора быстрых переменных у, а. сам тор является медленно изменяющейся поверхностью, которая но истечении большого промежутка времени может, вообще говоря, стать вовсе не похонгей на привычный нам тор. [c.104] Ее частным случаем являются автономные и неавтономные осцилляторы Ван-дер-Поля, рассмотренные в гл. И. Будем называть систему (25) системой Ван-дер-Поля. [c.104] Пусть частоты oi,. .., ю рационально соизмеримы при векторе г, у которого все компоненты отличны от нуля. В этом случае мы имеем по меньшей мере одно резонансное соотношение между основными частотами. Этот резонанс назовем простейшим в силу неизменяемости частот он сохраняется для любого зна-чення t. В таком случае общее решение (29) системы (28) является периодической функцией t. Если частоты oi,. .., рационально несоизмеримы, то решение (29) описывается услов-1ю-периодическон вектор-функцией с п частотами ю,,, .., (о . [c.105] Таким образом, порождающая система (28) описывает периодическое или условно-периодическое движение точки в n-t-l-мерном пространстве (прямое произведение п-мерного конфигурационного пространства Xi, х на одномерное временное пространство t). Ставится вопрос об исследовании движения точки, онр( деляемого системой Вап-дер-Поля (25), в которой lift, можно трактовать как малые возмуш,ающие силы. [c.105] В отличие от классического метода последовательных прибли- жений здесь для получения первого приближения необходимо знать решение усредненпоГ системы (34) z t, ц), что усложняет реализацию итераци11. С друго стороны, этот итерационный метод имеет лучшие свойства сходимости [90]. [c.107] Так как прп ц = О амплитуды и фазы кoлeбaниii суть постоян-HF.ie величины, формулы (35) дают решение с медленно изменя- ющимися а.мплитудами и фазами. Соотношения (35) и (36) со- ставляют преобразование Ван-дер-Поля [57]. [c.107] Именно преобразование (37) находится у истоков асимптотической теории дифференциальных уравнений, использующей метод усреднения как средство сглаживания колебательных функций. [c.108] Параметр р, как и раньше, означает малый параметр х, играющий роль одного из аргументов функций X, Y. [c.109] Вернуться к основной статье