ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы с медленными и быстрыми переменными без частотных резонансов из "Метод усреднения в прикладных задачах " Система (63) называется многочастотной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными. Вектор х называется вектором медленных переменных, у — вектором быстрых переменных, ю — вектором частот. [c.33] Для сглаживания системы (63) чаще всего используются операторы сглаживания, описанные в 1.4. Они строятся следующим образом. [c.33] Переменные р, q можно интерпретировать как отклонения х, от порождающего решения (65). [c.34] Из (69) видно, что подсистема для медленных переменных р является автономной, хотя в целом система (69) зависит явно от времени. [c.34] Система (74) представляет собой векторное уравнение Крылова — Боголюбова для преобразования систем с медленными и быстрыми переменными (63) в уравнения сравнения первого приближения (69). Аналогичный вид имеют уравнения в частных производных, определяющие и и у для преобразований (67)- -(70), (67)- (71) и (67)- (72). Для преобразования (67)- (70) уравнение Крылова — Боголюбова имеет в точности вид (74) с той лишь разницей, что в функциях X, У следует положить р = 0. [c.36] Чтобы получить уравнение Крылова — Боголюбова для преобразования Q7)- 72), необходимо заменив в уравнетях (75) функции Х р, q, Р), р, q, Р) на функции Х р, q, 0), Y р, q,0) соответственно. [c.36] Нахождение функций преобразования и, v из уравнений Крылова — Боголюбова (74), (75) в аналитической. форме в общем случае не представляется возможным, однако есть такие интересные для приложений случаи, когда это возможно сделать. О них будет рассказано ниже, а здесь мы приведем формулировку теоремы Волосова [20], устанавливающую е-близость медленных переменных многочастотных уравнений вида (63) и медленных переменных, определяемых усредненными уравнениями первого приближения (65), на асимптотически большом промежутке времени. [c.36] Основываясь па этой теореме, В. М. Волосов и его ученики (Б. И. Моргунов, Г. Н. Медведев, Ф. Л. Черпоусько и др.) разработали методы расчета стационарных колебательных режимов большого числа нелинейных систем и изучили их устойчивость [47-49]. [c.37] Заменим, что пока не определены каким-либо образом Fo, Ул-1, вектор-функция Ut, x, t) также неизвестна. [c.39] Таким образом, для формального преобразования уравпепия (78) в уравпепие (82) необходимо решить систему уравнений в частных производных (84) для к — i, 2,. .. при условии, что У каким-либо способом выбраны. [c.39] Вместо системы (84) рассмотрим характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2п-. [c.39] Ио векторное уравнение duJdt = dX x)/dx, u j является уравнением в вариациях для порождающей системы, поэтому, согласно теореме Пуанкаре [12], общий его интеграл находится путем дифференцирования общего решения (81) по произвольным постоянным. Следовательно, общее решение уравпепия (88) в принципе определяется в квадратурах. [c.39] Если известны 2га независимых первых интегралов системы (87), то нахождение решения уравнения в частных производных (84) не представлдет особых трудностей [12]. [c.39] математический формализм теории рядов пригоден и для системы. (78), в которой искомый вектор х состоит только из быстрых движений. [c.39] Вернуться к основной статье