ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Краткое содержание книги из "Метод усреднения в прикладных задачах " Глава I посвящена различным аспектам асимптотической теории дифференциальных уравнений с Малым параметром, основанной на идее усреднения (сглаживания) правых частей. Приведено обобщенное уравнение и дана интерпретация метода усреднения, а также описаны наиболее распространенные в динамике операторы сглаживания, позволяющие строить различные варианты теории возмущений по степеням малого параметра ц. Дальню в этой главе рассмотрены различные классы нелинейных систем без частотных резонансов и изложена конструктивная методика построения их асимптотических решений с помощью преобразования Крылова — Боголюбова. [c.16] Конечной целью содержания гл. II является построение в явном виде преобразования Крылова — Боголюбова, которое дает приближенное (асимптотическое) решение конкретных задач теории нелинейных колебаний. Выполнение читателем необходимых при этом аналитических операций служит, на наш взгляд, гарантией уверенного овладения тем богатым математическим аппаратом, который имеется сейчас в теории нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. [c.16] П1 изложена асимптотическая теория применительно к -резонансным системам дифференциальных уравнений. [c.16] Обычно уравнения сравнения строятся с помощью какого-либо оператора сглаживания (оператора усреднения). [c.18] Общая задача, которую предстоит решить, состоит в то.м. чтобы найти такую невырожденную дифференцируемую за геиу переменных zz, которая преобразует систему (1) в систему срав ения (2). Расскажем коротко идею ретения. [c.18] Отсюда следует, что определение замены переменных, преобра-зуюп1ей первоначальное уравнение (1) в простейшее уравнение (8), предполагает знание решения первоначальной системы. Следовательно, нахождение решения уравнения Крылова — Боголюбова в этом случае эквивалентно нахождению решения исходной системы (1), поэтому решенне задачи о преобразовании уравнений не стало более легким. [c.20] Рассмотренные здесь продельные варианты позволяют сделать следующие выводы. [c.20] Иными словами, процедура сглаживания функции Z(z, ц) по формуле (14) означает ее усреднение но части переменных Z,,. .., Zj, от которых функция Z (z, i) зависит периодическим образом, хотя но исключено, что по переменным z +i,. .z она тоже мо жет быть периодической функцией. [c.22] Результат вычисления интеграла (20) существенно зависит от црнфметических свойств чисел oi,. . i) . Если частоты (Oi,. .. [c.23] Замечание. Результат усреднения но i с помощью оператора (11) зависит, вообще говоря, от параметра to. Этот вопрос достаточно подробно изучен В. М. Волосовым [20]. В абсолютном большинстве прикладных задач свойства решений уравнений сравнения существенно не зависят от to, поэтому в дальнейшем всегда будем считать to — 0. [c.23] В заключение приведем формулировку теоремы Дирихле — Жордана [5] для функции скалярного аргумента. [c.23] Теорема 1.1. Пусть функция f x) имеет ограниченную вариацию на [О, 2я]. Тогда ее ряд Фурье в любой точке а о (0, 2я) сходится к значению [f Хо + 0)+f Хо — 0) /2-, в частности, этот ряд сходится к f(x) в каокдой -точке непрерывности /. [c.23] Вернуться к основной статье