ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Однородное и неоднородное докритические состояния упругопластического стержня из "Лекции по устойчивости деформируемых систем " В предыдущей главе рассматривались стержни, материал которых подчинялся линейному закону упругости. Отметим, что за исключением реактивно нагруженного стержня получаемые в этих условиях результаты достаточно хорошо согласуются с данными большого числа и давно ведущихся экспериментов. Для нелинейно-упругого тела все уравнения, полученные во второй главе, остаются справедливыми, если модуль Е в них заменить на модуль Е и учесть, что при неоднородном докритическом состоянии этот модуль становится вдоль стержня переменным. Это усложняет задачу получения точного решения, в то время как трудности при использовании приближенных методов увеличиваются ненамного. [c.71] Как можно предвидеть на основании материала первой главы, для неупругих стержней при существовании упругого эквивалента метод расчета будет с несущественными изменениями повторять тот, который используется для соответствующего стержня в предыдущей главе. Поэтому в данной главе основной упор делается не на развитие методов решения сложных в геометрическом. плане задач, а на принципиальную сторону бифуркационных и псевдобифуркационных проблем, трактовку получаемых результатов и, если возможно, на сравнение результатов с данными эксперимента. Для этих целей основным объектом рассмотрения будет служить шарнирный стержень. [c.71] Как видно, здесь, так же как и для модели стержня, проблема БО оказывается линейной и результахы ее решения отличаются от упругости только заменой модулей. Однако эти случаи являются исключительными. Для более сложных задач (криволинейные стержни, пластинки и др.) проблема БО становится нелинейной, и связано это с тем, что глубина пластической зоны становится непостоянной. В этих случаях нахождение решения проблемы представляет большие математические трудности. [c.73] Анализ модели стержня показал, что точки Б1, рассчитанные на основании общей связи (2.1), заполняют некоторый отрезок процесса, а случай отсутствия Fay, который допустим в этой проблеме, отвечает начальной точке этого отрезка. Нетрудно непосредственно проверить, что подобные ситуации повторяются и для шарнирного стержня и этому, как и в общем случае, есть простое объяснение при отсутствии зон разгрузок типа Fnv выпучивание идет при минимально жестких связях, ибо модуль Е при обычном упрочнении меньше упругого модуля Е. [c.74] Может возникнуть вопрос о том, возможна ли в действительности при изменяющейся внешней нагрузке форма выпучивания, для которой выполнялись бы условия равноактивной бифуркации. Этот вопрос решается следующим образом. [c.74] Здесь уместно отметить, что формула (2.3) была предложена Энгессером [57] для упруго-пластического стержня ранее формулы (1.12) и получила название касательно-модульной нагрузки. Однако предложение Энгессера было необоснованным. Он ошибочно получил формулу (2.3) как результат решения проблемы БО. Вновь формула (2.3) возникла в результате исследований Шенли [54, 60], который, обнаружив в своих экспериментах, а также в экспериментах других авторов лучшее соответствие ее экспериментальным данным и расценив это как парадокс теории упруго-пластической устойчивости, сделал попытку оправдать теоретически ее справедливость.. [c.75] Основным фактором такого оправдания являлось подмеченное Шенли обстоятельство, состоящее в том, что на начальных фазах выпучивания упруго-пластического стержня разгрузка, ожидаемая со стороны выпуклых волокон, не наблюдалась. Она постепенно обнаруживалась с ростом прогибов, т. е. граница раздела упругих и пластических зон непрерывно передвигалась с кромки внутрь сечения, в противоположность тому, что было положено в основу критерия Эйлера—Кармана. Ему также удалось показать теоретически на примере модели стержня, исследованной нами выше что за касательно-модульной нагрузкой (в гл. I Ок = Е г ) возможны ветви решения с нарастанием прогиба. Аналогичный результат на основе других исходных положений обнаружил Работнов [41]. Эти работы и заложили основу концепции продолжающегося нагружения, смысл которой изложен в 8 первой главы. [c.75] Если формула (1.20) второй главы непосредственно определяет значение критической силы, то формулу (2.3) для касательномодульной нагрузки нужно рассматривать лишь как уравнение для определения критической нагрузки. [c.75] Вблизи значения o = a, которое следует из этого условия, малое изменение (-ибкости должно приводить (рис. 23,6) к резкому изменению критической силы [23]. . [c.76] Попытки использовать обычный динамический/анализ в этом случае не проясняют обстановку. При любом фиксированном значении внешней силы будут обнаруживаться ограниченные колебания. Однако очевидно, что стержень не может остаться прямым при любом значении сжимающей силы. Можно поэтому допустить, что ответственными за выпучивание являются псевдобифуркаци-онные точки, которые, как оказывается, можно выделить в этом процессе. [c.77] Может быть указан случай, когда есть и точки БМ, и точки ПБЛ , но последние возникают раньше первых. [c.79] Подчеркнем, что реальная значимость точек ПЪМ в телах с мгновенными свойствами (упругость, пластичность) пока не ясна, в связи с чем примеры конкретных расчетов, которые могли бы быть здесь приведены, кажутся преждевременными. [c.79] Конечно, на практике указанное действие не всегда возможно. Трудно бывает организовать новую точку опоры. Кроме того, не надо также забывать, что тренированный стержень будет несколько короче исходного, и хотя это укорочение невелико, оно моЖет быть нежелательным или даже недопустимым. [c.80] Если стержень является элементом стержневой системы, то в качестве дополнительной опоры может быть использован другой стержень этой системы. Простой пример доставляет изображенная на рис. 26, а конструкция, предназначенная для восприятия внешнего момента М. Будем для простоты считать стержни одинаковыми. [c.80] Если же ввести временную связь в виде горизонтальной перемычки, соединяющей середины стержней, то схема нагружения каждого стержня изменится и будет такой, как показано на рис. 26, б. [c.80] Оба эти типа загружений, как нетрудно видеть, сводятся к одному для стержня длиной Z/2, изображенного на рис. 26, е пр д =0 — шарнирное закрепление Aiiy = Ада = 0 при л =//2 — скользящая заделка с поперечной нагрузкой Аш =0, Аш = = qjEI. Здесь + относится к левому, сжатому силой Р = М1Н стержню, а — — к правому, растянутому силой —Р.. Расположение сил на рис. 26, в представлено для левого стержня. Для правого все силы меняют направление. [c.81] В И первой главы, где уже рассматривалось это соотношение применительно к модели стержня, было показано, что при повышении порядка этого соотношения точка бифуркации БМ совпадает с точкой Б1 для исходного уравнения и возникает лишь новая точка псевдобифуркации ПБЛ/ при N = M—1. Учитывая это обстоятельство, попытаемся найти общий упругий эквивалент для ПБЛ . [c.82] И графически для JV от О до 3 представлена на рис. 27. Прямая при N = 0 отвечает критерию устойчивости Работнова — Шестери-кова [45], прямая при N=1 — критерию Куршина [29]. [c.84] На этом же рисунке кружочками нанесены результаты экспериментов Кузнецова [28] по устойчивости стержней из дуралюмина. Эти данные отвечают усредненным по партии образцов моментам, за которыми наблюдалось резкое нарастание прогибов. Как видно, результирующие параметры располагаются в полосе между ПБ2 и ПБЗ. Следовательно, в соответствии с гипотезой критического порядка псевдобифуркации, сформулированной в гл. I, для данного материала в качестве критического должно быть принято число N = 2. Как показывает анализ результатов других экспериментов со стержнями (см. [27]), то же значение критического порядка псевдобифуркации сохраняется и для материалов, близких по свойствам к дуралюмину. [c.84] Вернуться к основной статье