ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Опорное решение. Конформные отображения из "Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением " Действительно, по условиям обтекания в любой точке контура 5 скорость должна быть направлена по касательной к контуру. Следовательно, контур должен входить в семейство линий тока. Комплексный потенциал w(z) = = ф(Хь лга)+111) (л 1, дгг) реализует взаимно однозначное отображение области Z) на внешность некоторого отрезка, параллельного осй ф (см. рис. 105). [c.304] Область 11 может быть заполнена покоящейся сплошной средой, при этом вдоль струй С1Л1 и С2Л2 имеет место разрыв касательной составляющей скорости. [c.304] Искомый комплексный потенциал w z) отображает область течения на плоскость с бесконечным разрезом, параллельным оси ф и выходящим из точки В (см. рис. 106). л 3. Течение в криволинейной полуплоскости. Граница области Z) —линия 5 без точек самопересечения, содержащая бесконечно удаленную точку (рис. 107). В области D требуется построить поток, обтекающий кривую (нулевую ли-, Н1Ш тока) и обладающей заданной по величине скоростью В бесконечности vo. [c.304] Комплексный потенциал w(z ) реализует отображение области ) на верхнюю полуплоскость Е при условии ш(оо)=оо, ny (oo)(==t o. [c.305] В области требуется построить безвихревое поле скоростей, обтекающее S+ и и имеющее заданный расход В. [c.305] Следовательно, разность. — il)+ известна, всегда можно принять г ) =О,, ф+=Б. [c.305] Для течения с ограниченной в бесконечности скоростью можно доказать при некоторых дополнительных предположениях, что поставленная задача имеет единственное решение, а искомый комплексный потенциал реализует взаимно однозначное конформное отображение области D на полосу 0 ф В с соответствием бесконечно удаленных точек йу( оо) == 00. [c.305] ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Для важного с точки зрения приложений класса полигональных областей, граница к( торых состоит из отрезков прямых, Г. Шварцу и Э. Кристоффелю удалось получить точную формулу, реализующую отображение внутренности многоугольника на единичный круг или верхнюю полуплоскость. [c.305] Пусть ал — выраженные в долях от к или 180° углы при вершинах, и аналитическая функция 2=z( ) осуществляет отображение верхней полуплоскости lm 0 комплексной переменной С=Ц-1Т] на внутренность многоугольника. При этом вершинам Ah будут соответствовать точки ак действительной оси . . [c.306] Очёвидно, не все они могут быть заданы произвольно. Так, углы ah должны удовлетворять известному соотношению ai-fa2+. .. + п= =п—2. [c.306] из трех тОчек а% (например, Oi, an-i, tn) могут быть выбраны произвольно, остальные должны определяться яз условий задачи. [c.306] Формула (1Х.75) остается в силе и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке. Угол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус . [c.306] Наконец, отображение внутренйости единичного круга на внутренность многоугольника также осуществляется формулой (IX.75). Здесь а ([Oft 1 = 1)—точки единичной окружности, соответствующие вершинам Ак. [c.306] ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ШВАРЦА — КРИСТОФФЕЛЯ. К одной из первых задач, решенных с применением конформного отображения, относится классическая задача об истечении идеальной жидкости из отверстия (рис. [c.306] Эти зависимости позволяют, используя параметрическую полуплоскость, вычислить скорость V в каждой точке z области D. [c.307] Рассмотрим другой случай, когда сама область D представляет собой обобщенный многоугольник А с углами (ХкП при вершинах Л, причем одна или несколько вершин (источники или стоки) находятся в бесконечности (рис. [c.307] Образом многоугольника на плоскости потенциала w является также многоугольник В с углами при вершинах Ak, поскольку стороны многоугольника А являются л,иния-ми тока и отображаются на отрезки прямых il) = onst. [c.307] Обозначим соответственные точки границ отображаемых областей одинаковыми буквами с общей нумерацией, соответствующей принятому порядку обхода границ. Для многоугольников это всегда можно сделать, добавив фиктивные вершины с углами, равными п. [c.307] В качестве примера приведем картины течения в плоскостях Z, W, Q, ЙУ , и g для ряда областей, часто ис-пользуемцх при решении задач пластического течения. К ним относятся область А (течение в сходящемся канале, рис. ПО) область В (затекание из прямолинейной полосы в сходящийся канал, рис. 111) область С (прессование или волочение полосы, рис. 112). [c.309] Вернуться к основной статье