ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пространство сплайн-функций. В-сплайны и фундаментальные сплайны из "Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением " Решение системы уравнений (IV. 14) является в общем случае весьма сложной задачей.. Она существенно упрощается, если /(д )—квадратичный функционал в этом случае уравнения (5// 5а,=0 линейны относительно а,-. [c.158] На практике во многих случаях приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов рядов (IV.13), (IV.15), поэтому удачный выбор координатных функций имеет решающее значение. При решении вариационных задач теории обработки металлов давлением для выбора координатных функций (их часто называют прд-ходящими функциями ) обычно используют результаты экспериментальных исследований. [c.158] В качестве примера рассмотрим следующую задачу. [c.158] Из результатов вычисления следует, что в матрице жесткости [/С] почти все элементы Отличны от нуля, причем нет диагонального преобладания. Это приводит к большим трудностям и неустойчивости решения при больших п. [c.162] Рассмотрим эти понятия более подробно. Прежде всего введем понятие минимальной сцстемы. [c.163] Определение 1. Множество элементов гильбертова пространства называется минимальной в этом пространстве системой, если вычеркивание любого элемента этого множества сужает натянутое на него подпространство. [c.163] Пример 3. В том же пространстве система х, sin пх/а, sin2nxfa,. .., неминимальна если вычеркнуть элемент х, то пространство, натянутое на остальные элементы, совпадает с самим пространством Да [О, а] и, следовательно, не претерпело сужения. [c.163] Пример 4. Ортонормированная система — сильно минимальна, для нее Я =1 при любых пик, при этом получаем Яо=1. [c.164] Теорема IV.I. Всякая сильно минимальная в некотором пространстве система минимальна в том же пространстве. [c.164] Теорема IV.2. Если координатная система (IV.46) минимальна в Н, то суи ествуют пределы коэффициентов Ритца ak — mai k = , 2.). [c.164] Применим полученные результаты к задаче IV. 1. Использованная в первом варианте решения ортонормированная тригонометрическая система сильно минимальна в что обеспечивает устойчивость процесса Ритца. [c.164] В результате мы получаем систему из п уравнений для нахождения коэффициентов аь аг. Оп- Если оператор Л—линеен, то эта система представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно а,. [c.166] Рёшив полученную систему и подставив, коэффициенты ai в (IV.53), получаем элемент х ., который назовем п-м приближением по Галеркину решения данной задачи. [c.166] При выборе координатных функций проще всего удовлетворить требованию 3, преобразовав условия задачи так, чтобы Da представляло собой линейное множество (линеал) и потребовав, чтобы элементы ф,- также принадлежали Z)a. Это легко сделать, есл,и граничные условия задачи (IV.52) являются однородными, т. е. искомая функция обращается в нуль на границе области (см. задачу IV.1). [c.166] Очевидно, при таком выборе при любых щ Хп входит в область распределения оператора А. [c.166] Вернуться к основной статье