ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай Эйлера из "Основы теоретической механики " Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466] Лемма 6.7.1. В случае Эйлера постоянна проекция угловой скорости и) на неподвилсное направление К кинетического момента. [c.467] Следуя Пуансо, изучим движение эллипсоида инерции Э тела относительно неподвижной точки О. Дело в том, что этот эллипсоид жестко связан с самим телом. Положение эллипсоида инерции в пространстве однозначно определяет положение твердого тела. [c.467] Назовем апексом точку, в которой луч, выходящий из неподвижной точки О коллинеарно вектору о , пересекает эллипсоид инерции. Пусть г — радиус-вектор апекса. [c.467] Теорема 6.7.1. Расстояние от неподвижной точки О до плос-кости, касательной к эллипсоиду инерции в апексе, не меняется при движении твердого тела. [c.467] Следствие 6.7.1. (Геометрическая интерпретация Пуансо). [c.468] Плоскость V, касательная к эллипсоиду инерции в апексе, неподвижна в абсолютном пространстве. Движение твердого тела в случае Эйлера можно представить качениел эллипсоида инерции по неподвижной плоскости V без проскальзывания. [c.468] Определение 6.7.1. Полодия — это кривая, описываемая апексом на поверхности эллипсоида инерции. Герполодия — это кривая, вычерчиваемая апексом на. неподвижной плоскости V, касающейся эллипсоида инерции в каждый момент времени. [c.468] Подвижный аксоид (см. 2.13) имеет верщину в точке О и в качестве основания — полодию. Неподвижный аксоид имеет вершину в точке О и в качестве основания — герполодию. [c.468] Полодия в этом случае состоит из двух эллипсов, пересекающихся по средней оси эллипсоида инерции и симметричных относительно координатных плоскостей. [c.469] Вблизи точек пересечения большой и малой осей инерции с эллипсоидом картина полодий напоминает окрестность особой точки типа центр (рис. 3 9.1). В малой окрестности средней оси е о имеем картину полодий,характерную для седловой точки (рис. 3.9.8). [c.469] В общем случае полодия служит пересечением эллипсоида инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии, что и эллипсоид. Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно неподвижной точки и одной из главных плоскостей эл.липсоида, и обладает четырьмя вер-щинами, для которых радиус-вектор г, выходящий из неподвижной точки, имеет максимум или минимум модуля. При движении одна из ветвей полодии катится по неподвижной плоскости Р. Вторая ветвь катится по плоскости, симметричной Р относительно неподвижной точки. Общий вид расположения полодий на эл.липсоиде инерции представлен на рис. 6.7.1. Имеем однопараметрическое по В семейство кривых. [c.469] Так как апекс принадлежит эллипсоиду инерции, то г ограничено по величине. Следова.тельно, когда О — А, полодии стягиваются к точке пересечения эллипсоида с его наименьшей главной осью. [c.470] Теорема 6.7.2. В случае Эйлера ось угловой скорости неподвижна в твердом теле тогда и только тогда, когда она совпадает с одной из главных осей инерции. [c.471] Если эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то по крайней мере две из величин р, у, г должны быть равны нулю. Но это и означает, что тело вращается вокруг одной из главных осей инерции. Если эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения, например А = В -ф С, то тогда любая ось в плоскости, перпендикулярной оси, соответствующей моменту инерции С, будет главной. Величины р и д могут быть тогда любыми, и если хотя бы одна из них отлична от нуля, то тогда должно быть г = 0. Если А = В = С, то тогда любая ось тела будет главной, а р, у, г могут при этом быть произвольными. [c.471] Следствие 6.7.2. Главные оси инерции служат перманентными (постоянными) осями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. 6.3). [c.471] Теорема 6.7.3. Движение оси угловой скорости устойчиво в окрестности большой или малой полуосей инерции и неустойчиво в окрестности средней полуоси. [c.472] Следовательно, при В, по величине близком к С, малыми в любой момент времени будут координаты Г] и ) 2. Это означает устойчивость движения оси угловой скорости в окрестности большой полуоси эллипсоида инерции. [c.472] Заметим, что в теореме 6.7.3 имеется в виду лишь устойчивость движения оси угловой скорости. Сами вращения твердого тела при этом неустойчивы, так как даже небольшие изменения величин угловых скоростей могут приводить к значительным изменениям угловых координат. [c.472] Полодия станет окружностью с центром на наибольшей оси инерции. Герполодия также окажется окружностью. [c.474] Вернуться к основной статье