ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип виртуальных перемещений из "Основы теоретической механики " Равновесие предполагает отсутствие ускорений всех материальных точек системы в любой момент времени. Задачи о равновесии могут быть изучены с помощью системы уравнений, выражающей равенство нулю суммы всех сил, действующих на каждую точку системы. Эта сумма должна включать как активные силы, так и неизвестные силы реакций связей. [c.343] Практическое применение указанного подхода затруднено, когда число точек в системе оказывается больщим (например, все точки абсолютно твердого тела). К тому же число точек, к которым приложены активные силы, обычно сравнительно невелико, и, как правило, нет необходимости вычислять буквально все реакции связей. [c.343] Принцип виртуальных перемещений служит наиболее общим методом решения задач статики. Он возник в результате обобщения золотого правила механики проигрыш в расстоянии пропорционален выигрышу в силе . Использование принципа виртугильных перемещений позволяет наиболее экономно сформулировать условия равновесия систем материальных точек на основе геометрических свойств связей и информации об активных силах без введения неизвестных реакций связей. [c.343] Теорема 4.7.1. (Принцип виртуальных перемещений). [c.343] Поскольку связи идеальны, второе слагаемое здесь равно нулю. Необходимость доказана. [c.344] Следствие 4.7. . (Принщш Торричелли). Равновесие системы под действием силы тяжести достигается в тех и только в тех конфигурациях, для которых центр масс системы занимает наивысшее, наинизшее или какое-либо другое стационарное положение по вертикали относительно соседних положений, переход к которым реализуем в пространстве виртуальных перемещений. [c.346] Пример 4,7.1. Рассмотрим однородный прямоугольный параллелепипед, Очевидно, что его центр масс находится в точке пересечения диагоналей. Когда параллелепипед под действием силы тяжести стоит на столе на какой-нибудь своей грани, то это — положение равновесия, так как при вращении параллелепипеда вокруг какого-либо ребра или вершины, лежащей н а столе, центр масс может только подниматься.О Пример 4,7.2. Пусть какие-либо две точки плоской неизменной фигуры могут перемещаться только вдоль заданных гладких неподвижных кривых, лежащих в той же плоскости (рис. 4.7.1). Указать, под действием какой силы F фигура может находиться в равновесии. [c.346] Плоская фигура, вынужденная касаться двух гладких направляющих, будет оставаться в равновесии под действием силы F, проходящей через мгновенный центр вращения фигуры. Только в этом случае виртуальное перемещение точки А оказывается перпендикулярным направлению действия силы F. [c.346] Значит, Г г 1. Мгновенный центр вращения фигуры (см. определение 2.14.1) лежит в пересечении нормалей к неподвижным кривым в точках касания с ними фигуры. По теореме 2.14.1 виртуальное перемещение любой точки фигуры должно быть перпендикулярным радиусу, проведенному к этой точке из мгновенного центра вращения О. Следовательно, для равновесия фигуры необходимо и достаточно, чтобы линия действия силы Г проходила через мгновенный центр вращения.О Принцип виртуальных перемещений можно использовать для решения геометрических задач. Проиллюстрируем это примерами. [c.347] Элементарная работа силы Р, перпендикулярной к кривой, выражается как произведение величины силы (со знаком) на дифференциал расстояния от точки Р приложения силы до кривой. Дифференциал смещения точки Р параллельно касательной к кривой, взятой в основании перпендикуляра из точки Р на кривую, не влияет на величину элементарной работы. [c.347] Из принципа виртуальных перемещений следует, что точка Р, расположенная на гладкой кривой V, под действием выбранных сил Г. будет находиться в равновесии. Значит, равнодействующая сил Г. направлена по нормали к кривой V. [c.348] Таким образом, получен простой способ геометрического построения нормали к кривой, заданной указанным способом. Специально отметим, что все рассуждения этого примера справедливы, когда некоторые из кривых или все они представляют собой точки (докажите ). В этом случае роль нормали будет играть единичный вектор направления из точки С. в точку Р. Рассмотрим несколько конкретных случаев. [c.348] Поэтому нормаль к эллипсу есть биссектриса угла между фокальными радиусами-векторами. [c.348] Поэтому касательная к гиперболе есть биссектриса угла между фокальными радиусами-векторами (нормаль есть биссектриса смежного угла). [c.349] Докажем два основных необходимых признака равновесия. [c.349] Определение 4.7.1. Лагранжееы координаты системы материальных точек суть скалярные величины, произвольно задав конкретные значения которых, можно однозначно рассчитать координаты всех точек системы, удовлетворяющие всем заданным голономным связям. Число. дагранжевых координат должно быть минимальным. [c.350] Определение 4.7.2. Число лагранжевых координат называется числом степеней свободы системы материальных точек, на которую наложены голономные связи. [c.351] В частности, в примере 4.7.4 имеем систему с одной степенью свободы. [c.351] Вернуться к основной статье