ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Резонансные явления из "Основы теоретической механики " Следовательно, частное решение имеет частоту и фазу вынуждаюшей силы. Его амплитуда обратно пропорциональна разности — 1Д. Амплитуда неограниченно возрастает, когда V ш. [c.234] Это явление носит название биений. [c.235] Имеем колебание с частотой ш и линейно возрастающей по времени амплитудой. Это явление называется частотным резонансом. Оно проявляется в неограниченной раскачке вынужденных колебаний при сколь угодно малой амплитуде Ь внешней силы и может привести к разрушению механической конструкции. [c.235] Следствие 3.10.1. При действии сил вязкого трения совпадение частоты н возмущающей силы с частотой и/ собственных колебаний осциллятора не приводит к неограниченному увеличению амплитуды, и не существует значения частоты и возмущающей силы, при котором такой эффект мог бы возникнуть. [c.236] Вместе с тем, когда частота и собственных колебаний осциллятора приближается к частоте возмущающей силы, амплитуда частного решения становится максимальной. На этом свойстве основаЕЮ действие различных акустических резонаторов, маятниковых систем, настроечных колебательных контуров в радиотехнике. [c.236] Рассмотрим теперь резонансное явление другого типа. Параметры реальной системы, описываемой уравнением осциллятора, не всегда могут оставаться постоянными. Тогда собственная частота UI будет изменяться во времени. [c.237] Лемма 3.10.2. Если x t) — произвольное решение рассматриваемого уравнения с периодическими коэффициентами, то функция у — x t + г), где т — период функций a t), b(t), есть решение того же уравнения. [c.238] Доказательство. Если x(t) — решение, то для него x t + г) + а( + г) x t + г) 4- b t + г) x(t + г) = 0. [c.238] Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239] Для удобства дальнейшего изложения будем считать решения уравнения с периодическими коэффициентами комплексными функциями времени, выделяя действительную часть этих решений в случае необходимости перехода к реальным приложениям. Заметим, что (1е1 А ф О, так как матрица А осуществляет переход от одних линейно независимых функций к другим. Поэтому р Ф 0. [c.239] Доказательство. Рассмотрим каждый из упомянутых в формулировке случаев. [c.241] Теорема 3.10.2. (Критерий параметрического резонанса). [c.244] Доказательство. Пусть сначала О 1. Имеем р Р2 = D. С.пе-довательно, модуль хотя бы одного из мультипликаторов превосходит единицу, и соответствующее решение неограниченно возрастает. [c.244] Таким образом, для функций у , У2 матрица монодромии принимает треугольный вид, что влечет наличие резонанса. [c.245] наконец, В 2. Тогда корни характеристического уравнения действительны, взаимно обратны и отличны от единицы. Поэтому в системе имеет место параметрический резонанс. [c.245] С08(Г1Ч-Гт) -----1--С08(Г1—Т2) либо С08(Г1- -Г2) --------)---С08(Г1—То). [c.246] Отметим, что аег/ав 1, так что угол наклона указанных прямых не превышает тг/4. [c.247] На основании исследования уравнения Мейсснера следует ожидать, что зависимость параметра В от должна начинаться с членов порядка е . Непосредственные вычисления подтверждают это наблюдение. [c.251] Вернуться к основной статье