ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие теоремы динамики точки из "Основной курс теоретической механики. Ч.1 " Величина dS = Fdt называется элементарным импульсом силы. Равенство (2) выражает следующую теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме дифференциал количества движения материальной точки равен элементарном)) импульсу силы ). [c.324] Равенство (3) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме изменение количества движения точки за некоторый конечный промежуток времени равняется, импульсу действующей силы за тот же промежуток времени. [c.325] Рассмотрим случай, когда теорема об изменении количества движения дает первые интегралы уравнений движения точки. [c.326] Этот результат выражает тот факт, что при отсутствии силы свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно, т. е. по инерции (здесь, как и везде ранее, движение рассматривается по отношению к инерциальной системе отсчета). [c.326] Но уравнение (9) есть уравнение плоскости, параллельной оси z, т. е. силе. Так как координаты л и у точки все время удовлетворяют этому уравнению, то, следовательно, точка действительно движется в этой плоскости. [c.326] В случаях, отличных от рассмотренных, для получения из теоремы об изменении количества движения первых интегралов надо вычислить импульс S или его проекции 5 , S , S . Поскольку вообще F=F x, у, 2, х, у, z, f), то, как видно из равенства (6), для вычисления импульса надо знать х (/), у (/), z (/), т. е. общее решение уравнений движения точки. Но если известно общее решение. то использование уравнений (3) или (5) для отыскания первых интегралов утрачивает смысл. [c.327] Однако если действующая сила постоянна F = onst) или зависит только от времени, т. е. F = F t), то интеграл (4) непосредственно вычисляется и теорема дает один векторный или, в проекциях на оси координат, три скалярных первых интеграла уравнений движения точки. Эти первые интегралы выражаются равенствами (3) или (5), где стоящие справа импульсы S или 5 , S , будут (после вычисления соответствующих определенных интегралов) известными функциями времени. [c.327] Заметим, наконец, что поскольку траектория точки лежит в плоскости Оху, то интегралом движения ( удет также г = Сз. Дальнейшее решение этой задачи не вызывает затруднений (см. 36, п. 1). [c.327] Величина гУ. F представляет собой, как известно, момент силы относительно центра О (рис. 313). Аналогично величина ry mv является моментом количества движения tnv относительно того же центра. Таким образом, уравнение (12) выражает собой следующую теорему об изменении момента количества движения точки производная по времени от момента количества двиокения точки относительно какого-либо центра равна моменту действующей силы относительно того же центра. [c.328] Следовательно, если F ф О, то направление силы все время должнО проходить через точку О, т. е. сила является центральной. [c.330] В перигелии скорость планеты будет наибольшей, а в афелии — наименьшей. [c.331] Величина W = Р v, т. е. равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения, называется мощностью. Таким образом, мы нашли, что производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности. [c.332] Обычно уравнение (19) представляют в ином виде, вводя вместо мощности величину, характеризующую действие силы на некотором перемещении и называемую работой силы. [c.332] Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= нм), а в технической системе—1 кГм. Мощность измеряют соответственно в ваттах (1 вт — дж/сек) и в кГм/сек. В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила = 75 кГм1сек я 7 вт. [c.332] О О значении символа d см. сноску на стр. 273. [c.332] Равенство (23) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной (интегральной) формг изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно работе действующяй силы на том же перемещении. [c.333] Для решения основной задачи динамики доказанная теорема, как и две предыдущие, играет существенную роль в случае, когда она дает первый интеграл уравнений движения точки. [c.333] Если F=0, то из равенства (22) сразу находим v = — результат, являющийся следствием изв( стного интеграла (7). Для получения нетривиального интеграла, даваемого теоремой, а именно интеграла энергии, надо рассмотреть ряд вопросов, связанных с теорией силового поля. [c.333] Таким образом, в общем случае работа силы зависит не только от вида траектории движущейся точки, но и от закона движения этой точки и может быть вычислена лишь тогда, когда этот закон известен. [c.334] Область пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определенная сила, являющаяся однозначной, ограниченной и дифференцируемой функцией координат этой точки, называется силовым полем. Равенства (29) при условии, что стоящие справа функции удовлетворяют указанным требованиям, определяют стационарное (не изменяющееся со временем) силовое поле. [c.334] Вернуться к основной статье