ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные эксперименты на ЭВМ по изучению притягивающих гомоклинических структур из "Введение в теорию нелинейных колебаний " Две вершины и назовем сообш ающимися, если из вершины Mil, двигаясь по ребрам графа в указываемом на них направлении, можно попасть в вершину тИ.,, а из вершины Ms в вершину М . [c.344] Назовем концевым классом множество вершин графа, каждые две вершины которого сообщающиеся и из вершин которого нельзя попасть ни в одну вершину, не принадлежащую этому множеству вершин. [c.344] Справедливы следующие утверждения. Число различных установившихся движений не менее числа различных концевых классов графа матрицы Р. Это утверждение следует из того, что области G ,. .., G , составленные из областей Oi, отвечающих различным концевым классам, отображением Т преобразуются в себя и вся область G после достаточного числа преобразований Т — в объединение областей G G , m. т. е. [c.344] Далее для любых двух различных установившихся движений можно указать настолько малое d О, что при диаметре областей не большем d, они будут принадлежать различным областям Gj. Это утверждение следует из того, что из принадлежности двух различных установившихся движений одному и тому же множеству О/ следует, что расстояние между ними менее d. [c.344] На основе изложенного проводилось численное исследование точечного отображения (7.98) при значениях v, равных 0,7, 0,8 и 0,9, и т, равных 6, 10, 16 и 24. Сегмент [—1, +1], на котором определено точечное отображение (7.98), разбивался на 0,5- 10 —2- Ю равных частей. Во всех перечисленных случаях было обнаружено, что все вершины графа образуют единственный концевой класс сообщающихся состояний. [c.344] Отметим, что результат численного исследования при К = 1 согласуется с проведенным ранее аналитическим исследованием этого точечного отображения. [c.345] Описанный выше способ численного изучения применялся и к двумерному точечному отображению Т в случаях, изображенных на рис. 7.77, 7.79 и 7.81. При этом были обнаружены случаи с одним-единственным концевым классом, включающим очень большое число областей а,-. [c.345] Заканчивая описание численных экспериментов притягивающих гомоклинических структур, рассмотрим еще движения, принадлежащие областям 3 , G , , G , соответствующим различным концевым классам сообщающихся состояний. [c.345] Напомним, что матрица Р, состоит из элементов pij, равных нулю или единице в зависимости от того, пусто или непусто пересечение областей О и Oj. [c.346] Вид матрицы Pi накладывает определенные ограничения на точечную последовательность (7.101). Именно, если точка Xs е Oi, то точка Jtj+i может принадлежать области Оу, лишь если pij = 1. [c.346] Выполнение этих условий обязательно для фазовой траектории области G . Вместе с тем выполнение их еще не означает, что такая фазовая траектория на самом деле существует. Для того чтобы такие фазовые траектории существовали, необходимо выполнение каких-то дополнительных условий. Метод вспомогательных отображений позволяет указать некоторые такие достаточные условия. [c.346] Вернемся к общему рассмотрению притягивающих го-моклинических структур и порождаемых ими стохастических движений. [c.346] Приводимые выше примеры притягивающих структур были получены либо путем малых возмущений консервативных систем, либо путем специальным образом строящихся точечных отображений. [c.346] Целью дальнейшего является обнаружение естественности возникновения притягивающих гомоклинических структур у многомерных динамических систем, обычности их как установившихся движений. Этой цели может служить рассмотрение малых неавтономных возмущений двумерной динамической системы. Этот вопрос имеет значительный самостоятельный интерес, так как является простейшей моделью взаимодействия динамических систем. [c.347] Вернуться к основной статье