ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вспомогательные сведения о точечных отображениях из "Введение в теорию нелинейных колебаний " При разрешении конфликтной ситуации в примере, приведенном в предыдущем параграфе, связанной с решением вопроса о дальнейшем поведении системы при попадании изображающей точки в устойчивую точку бесконечного ускорения, было рассмотрено два пути один, связанный с введением гипотезы скачка, и другой, связанный с отказом от рассмотрения вырожденной модели. [c.224] Отметим, что особыми точками системы (6.17) будут точки пересечения линий х = х = onst с кривой Q х, у) = О Таким образом, уравнения (6.14) оказываются непригод ными для описания движения динамической системы. Урав нения (6.14) могут отражать движение системы только в ма лой окрестности (порядка ц) линии Q (х, у) = О, где х к у остаются конечными. Эти движения называются медленными движениями, а указанная малая окрестность линии Q (х, у) = О областью медленных движений. [c.226] Для того чтобы выяснить, является ли малый параметр существенным при рассмотрении движения системы или нет, рассмотрим возможные случаи. [c.226] Возможен случай, когда все траектории быстрых движений при возрастании времени идут внутрь области медленных движений (малой окрестности линии Q (х, у) =-- 0). Тогда изображающая точка, помещенная внутрь области медленных движений, в начальный момент будет двигаться в этой области, так как нет траекторий, выходящих из этой области. В этом случае учет малого параметра оказывается несущественным ). [c.226] Рассмотрим теперь случай, когда на какой-либо части линии Q (х, г/) = О О, а на другой Qh 0. В этом случае изображающая точка, помещенная в начальный момент в малую окрестность линии Q х, у) =- О, где QJJ, О, не будет оставаться там и выйдет в область быстрых движений. Следовательно, имеют место движения, которые начинаются из состояний, совместных с уравнениями (6.14), но не могут быть рассмотрены без учета малого параметра. Малый параметр в этом случае окизывается существенным. [c.228] Отметим, что в точках линии Q (х, у) = = О, где Q, меняет знак, производная Qy (х, у) = О, т. е. в этих точках линия Q х, у) = О имеет вертикальные касательные. [c.228] Рассмотрим теперь предельный случай, когда [х 0. Предположим, что на линии Q (jtr, у) = О имеются участки, на которых Qy 0, и участки, на которых Qy 0. Как было уже сказано, на границе этих участков линия Q (х, у) = = О имеет вертикальные касательные. Вся плоскость, за исключением линии Q (х, у) = О, при jx = О будет заполнена прямыми X = onst —траекториями быстрых (скачкообразных) движений, идущих к частям линии Q х, у) = О, где О ) эти части линии Q х, у) == О являются траекториями медленных движений, вдоль которых изображающая точка движется с ограниченными хну. [c.229] Отсюда следует, что при = О в точках, где = О, у обращается в бесконечность. При переходе через эти точки у меняет знак, т. е. эти точки являются точками стыка фазовых траектории. [c.229] При выводе этого уравнения не учтены малые параметры — индуктивность контура и инертность газового разряда. Сила тока i через неоновую лампу определяется напряжением и и статической характеристикой i = ф (и). [c.232] Для того чтобы выяснить возможность описания процесса в рассматриваемой вырожденной динамической системе с помощью уравнения (6.19), рассмотрим схему, представленную на рис. 6.14, в которой малые параметры (индуктивность контура и инерционность газового разряда) учтены малой индуктивностью L. [c.232] В точку С, где i = i (лампа загорается), далее, по кривой Q = о она будет перемещаться до точки D, где i = in, и затем скачком перейдет в точку А (лампа погаснет). Далее процесс будет повторяться аналогичным образом. [c.234] Период разрывных колебаний равен T = Ti- -T2. [c.235] Зная закон изменения и по формуле (6.24), можно определить закон изменения i. На рис. 6.18 показаны примерные графики изменения и и i. На графиках видно пилообразное изменение и и скачкообразное изменение г. [c.236] Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237] Наибольшие трудности в таком исследовании представляют глобальные вопросы. Локальные исследования ге-сравиимо более просты. В связи с этим можно видеть основное направление качественной теории в том, чтобы, опираясь на локальные исследования, шаг за шагом расширить исследуемые области фазового пространства и пространства параметров. [c.237] Если фазовое пространство разбить на достаточно малые области, то структура фазовых траекторий в каждой из них очень проста и вся трудность исследования состоит в соединении этих простых картинок в обш,уга глобальную картину. [c.237] Помимо этой общей идеи изучения от локального к глобальному, фундаментальное значение имеет идея игнорирования особых случаев, ограничение рассмотрения только общими случаями. [c.237] Несомненно, что такой же путь возможен и в качественной теории многомерных динамических систем. Однако его реализация несомненно сложнее и встречает на своем пути немало совершенно новых трудностей. Но не только в этом дело. Конечный итог тоже будет много сложнее, возможно, что он даже настолько сложен, что целесообразно еще чем-то пожертвовать, еще что-то назвать несущественным или принять за излишне детапьное. [c.240] После этих общих вводных слов перейдем к изложению накопленных к настоящему времени сведений о мно омер-ных динамических системах. Это изложение, по необходимости выборочное, содержит в первую очередь факты, п люющие наибольшее значение для общего понимания особенностей многомерных динамических систем, трактуемых в первую очередь как особенности структуры разбиения на траектории ее фазового пространства. [c.240] Вернуться к основной статье