ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Рассмотрение вырожденных систем с помощью гипотезы скачка из "Введение в теорию нелинейных колебаний " Задачей настоящего параграфа и является изучение движения таких вырожденных систем. [c.214] Если уравнение f (х) = О не имеет действительных корней, то динамическая система, описываемая уравнением (6.1), состояний равновесия не имеет. Следовательно, dx/dt все время сохраняет знак, и функция х (t) или монотонно возрастает или монотонно убывает. [c.215] Предположим теперь, что уравнение f (х) = О имеет k действительных корней х = х , х = х ,. .., х = х . Эти корни соответствуют состояниям равновесия системы. Решения X = Xi, X = Хо ,. .., л = х на плоскости tx представляют собой прямые, параллельные оси t (рис. 6.1). [c.215] Внутри полос функция / (х) знака не меняет и решения монотонны и, следовательно, если f (х) — аналитическая функция, то уравнение (6.1) периодических решений иметь не может. [c.215] Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215] Траекториями изображающей точки на фазовой прямой (оси х) могут быть точки (состояния равновесия), отрезки прямой (между состояниями равновесия), полупрямая (от состояния равновесия до бесконечности) и, наконец, вся прямая, когда / (. ) - О не имеет действительных корней. Отметим, что изображающая точка не может достигнуть состояния равновесия за конечный промежуток времени. [c.215] Для наглядности изображения движения вместо фазовой прямой введем фазовую кривую, в качестве которой возьмем характеристику трения, что можно сделать, так как в силу уравнения (6.2) координата (р пропорциональна моменту трения (это конечно верно только там, где уравнение (6.2) отображает движение колодки). На рис. 6.4 по оси абсцисс откладываем относительную скорость со = — ф. Если (о = О, то колодка движется вместе с валом со = Q соответствует отсутствию абсолютного движения колодки, состояние равновесия. При рассмотрении принятой характеристики трения нужно всегда иметь в виду, что пока со = О, момент силы трения может принимать любое значение от нуля до Мо — момента силы трения по-коя, т. е. характеристика трения имеет вертикальную ветвь, совпадающую с осью ординат на участке от М =—УИцДоуИ = М . [c.217] На плоскости фф точка с координатами ф = Ь /с, ф = О является особой точкой уравнения (6.5) типа неустойчивого узла. Других особых точек это уравнение не имеет. [c.220] Из точки с в силу того, что при I - 0 d )ldt- оо, изображающая гочка скачком перейдет по вертикали в точку D на прямой ф = Далее движение будет продолжаться описанным выше способом. Таким образом, рассмотрение невырожденной системы и предельный переход помогли нам в данном случае понять сущность гипотезы скачка. [c.224] Вернуться к основной статье