ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сведение рассмотрения поведения фазовых траекторий к точечному отображению прямой в прямую и плоскости в плоскость из "Введение в теорию нелинейных колебаний " В этом параграфе приводятся примеры конкретных систем второго порядка, построение и исследование фазовых портретов которых проводится при помощи методов качественной теории дифференциальных уравнений. [c.53] Пример 1. Динамика химического реактора [4]. Рассмотрим модель химического реактора, который представляет собою открытую гомогенную систему полного перемешивания. В такой системе происходит непрерывный массо-и теплообмен с окружающей средой (открытая система), а химические реакции протекают в пределах одной фазы (гомогенность). Условие идеального перемешивания позволяет описывать все процессы при помощи дифференциальных уравнений в полных производных. Предположим, что рассматриваемый химический реактор — эго емкость, в которую непрерывно подается вещество А с концентрацией Хд и температурой г/ ). Пусть в результате химической реакции А В h Q образуется продукт В и выделяется тепло Q, а смесь продукта и реагента выводится из системы со скоростью, характеризуемой величиной X. Тепло, образующееся в результате реакции, отводится потоком вещества и посредством теплопередачи через стенку реактора. Условия теплопередачи характеризуются температурой стенки у и коэффициентом со. Для составления уравнений динамики химического реактора воспользуемся законами химической кинетики, выражающими зависимость скорости химического превращения от концентраций реагирующих веществ и от температуры, законом сслранения массы (условие материального баланса), а также законом сохранения энергии (условие теплового баланса реактора). [c.53] Таким образом, рассматриваемая модель химического реактора имеет четыре существенных параметра Xq, уо, X, fi, которые являются положительными величннамп. В соответствии с физическим смыслом переменных х я у фазовым пространством системы является первый квадрант плоскости ху. [c.54] Для построения фазового портрета определим прежде всего число состояний равновесия, их топологический тип и устойчивость. [c.54] Согласно общей теории, уравнение А = О определяет границу седел, а уравнение о = О — границу устойчивости узлов и фокусов. [c.56] Подставляя в уравнение А = О выражения (3.11) и учитывая (3.8), получим параметрические уравнения для границы седел, на плоскости совпадающие с уравнениями (3.10). Таким образом, граничная кривая области параметров, при которых в системе имеется три состояния равновесия, совпадает с кривой рождения (или исчезновения) седловой особой точки. [c.56] С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57] Число различных областей и взаимное расположение кривых (3.10) и (3.12) на плоскости t/gXo зависят от значений параметров I и Случай разбиения плоскости параметров уо, Хд, изображенный на рис. 3.8, заведомо осуществляется при значениях К, р, удовлетворяющих неравенству р Рассмотрим этот случай подробнее и выясним, какие из особых траекторий, кроме состояний равновесия, могут быть на фазовой плоскости ху при различных значениях параметров Хд, (/ . [c.57] Таким образом, дальнейшее исследование фазового портрета рассматриваемой системы достаточно провести лишь внутри прямоугольника KLMN. [c.58] Рассмотрим теперь, как изменяется фазовый портрет системы и, следовательно, характер движения планера в общем случае 0. [c.64] в случае а О все фазовые траектории асимптотически приближаются к устойчивому состоянию равновесия, а фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 3.17. Таким образом, при наличии сил сопротивления воздуха планер при любых начальных условиях приходит к единственному устойчивому равновесному режиму. Если начальная скорость планера достаточно велика, то планер совершит сначала одну или несколько мертвых нетель, затем ио волнообразно затухающей траектории будет приближаться к траектории прямолинейного полета. Одна из возможных траекторий полета планера показана на рис. 3.18. [c.66] В данной главе излагаются начальные сведения о методе точечных отображений вводятся основные понятия и приемы исследования, которые позволяют изучать поведение фазовых траекторий в двумерном и трехмерном фазовом пространстве. На конкретных примерах простейших кусочно-линейных систем рассматриваются автоколебания, вынужденные и параметрические колебания, а также скользящие движения, возможные в этих системах. [c.70] Описанный способ получения точечных отображений применим для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и в более общем случае, когда . [c.75] Отсюда по заданным значениям х, у сначала из третьего соотношения (4.11) опре/ ,еляе1М наименьший корень Tj полученного уравнения ij3 j = О и, подставляя затем это значение Ti в первые два соотноп1ения (4.11), находим величины Xi, г/,. Тем самым точке А1 плоскости г = О однозначно ставится в соответствие некоторая точка Mi той же плоскости. [c.77] Вернуться к основной статье