ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изопараметрические конечные элементы оболочки вращения из "Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов " Рассмотрим конечные элементы оболочки вращения изо-параметрического типа. На рис. 7.9 представлены конечные элементы первого, второго и третьего порядков, имеющие соответственно два, три и четыре узла. Исходными данными для них служат координаты узлов Хг, Уг и значения толщины h в узловых точках. Уравнение меридиана будем задавать приближенными равенствами х — у — где суммирование ведется по всем узлам элемента. Функции 15 ( ) даются равенствами (5.81)—(5.83). [c.251] При записи последних соотношений учтены зависимости (7.43), (7.45), (7.46). [c.252] Интегрирование в (7.66), (7.67) выполняется численно. Для исключения ложного сдвига порядок интегрирования в к ,о должен быть минимально допустимым. Это соответствует одноточечному правилу Гаусса в случае элемента с двумя, двухточечному для элемента с тремя и трехточечному — для элемента с четырьмя узлами. Что касается к а.д, то в случае трехузлового элемента здесь следует взять три точки Гаусса, четырехузлового — четыре, а для двухузлового достаточно и здесь без ухудшения точности ограничиться одной точкой, Отметим, что двухузловой элемент подобного типа впервые предложен в работе [411. [c.253] Здесь рхи, Руо — значения нагрузок р, ру в середине элемента (т. е. при 1 = 0), а уо = iHt + — радиус соответствующего параллельного круга. [c.254] Отметим, что в элементах рассматриваемого типа эквивалентные узловые силы не содержат компонент в направлении т. е. узловые моменты, эквивалентные распределенной нагрузке, оказываются здесь нулевыми. [c.254] В данном параграфе рассматривается двухузловой конечный элемент с криволинейной образующей (24). Предполагается, что помимо координат узлов заданы также углы 0j, 0,-в узловых точках (рис. 7.10). При выводе жесткостных характеристик элемента будем исходить из предположения, что справедлива гипотеза прямых нормалей. [c.254] Как видно, погрешность незначительна даже для весьма больших участков. Отметим, что если при определении I ограничиться нулевым приближением, заменив длину дуги длиной хорды, то ошибка аппроксимации радиуса кривизны возрастает примерно в три раза по сравнению с приведенными результатами. [c.257] Перейдем далее к аппроксимации перемещений, взяв за основу компоненты щ, Un. При этом поставим себе целью получить возможно более простой элемент, обладающий в то же время хорошими характеристиками сходимости. Как говорилось в предыдущей главе, скорость сходимости конечноэлемеитной модели определяется минимальным порядком аппроксимации компонент деформации в пределах конечного элемента. В рассматриваемом случае деформации е выражаются через величины е , е , Xi. Хг- Если последние представлены в пределах элемента в виде полиномиальных функций от s (или от ), то можно ожидать, что скорость сходимости будет определяться наиболее низким порядком аппроксимации этих величии. Потребуем, чтобы все четыре функции El, Ео, Xi. Ха были аппроксимированы в пределах элемента полиномами от g первой степени. Э ого можно добиться, если использовать при их вычислении различные аппроксимации перемещений щ, Un- Выбор типа аппроксимации определяется характером соотношений, связывающих Ei, Ej, Xi или Хг с перемещениями. [c.257] Подстановка этих соотношений в формулу для Б дает 1= 2 (1 + ) Ипг — с. [c.258] Через V,. = [uir Unz обозначена матрица перемещений узла г в местной системе координат. [c.258] Численное интегрирование в (7.90) можно выполнить по трем точкам Гаусса. [c.260] Придерживаясь той же степени точности, что и для деформаций, воспользуемся здесь линейной аппроксимацией перемещений uj, un. [c.261] При таком подходе узловые моменты, обусловленные действием распределенной нагрузки, будут отсутствовать. Интегрирование в (7.91) следует, как и в (7.90), осуществить по трехточечному правилу Гаусса. [c.261] Ра иство (7.93) определяет четыре блока матрицы жесткости элемента к, приведенной к узловым перемещениям v = v vj). [c.261] Считая, что отдельные волокна кольца не взаимодействуют друг с другом, связь между окружным напряжением а и деформацией е запишем в виде о = Ег, как для одноосного напряженного состояния. Таким образом, матрица х в данном случае является скалярной величиной и совпадает с модулем упругости Е. [c.263] Во всех остальных узлах конечного элемента оболочки матрицы г и г совпадают, так что для этих узлов — единичные матрицы. [c.264] В тех узлах, где имеются шпангоуты, в диагональные элементы матрицы жесткости, соответствующие радиальному перемещению и углу поворота, в соответствии с (7.96) добавляются слагаемые 2nEFi/yoi и 2nEJilyoi. [c.265] Узловые перемещения v = vi. ..v определяются путем решения системы уравнений kv = Р + Р, из которой предварительно должны быть исключены заданные перемещения. [c.265] После отыскания матрицы v будут известны узловые перемещения для каждого элемента. Если при этом элемент оболочки связан в узле i со шпангоутом, то полученную из решения системы матрицу Vj следует при составлении матрицы v умножить на матрицу (7.98). [c.265] Такие расчеты выполняют для узловых точек каждого конечного элемента оболочки. Для улучшения точности могут использоваться процедуры сглаживания, как это описано в 5.13. [c.266] Вернуться к основной статье