ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение метода конечных элементов к расчету авиационных конструкций Конструкции в виде пластин и оболочек Предварительные замечания из "Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов " Обратимся теперь к несовместным элементам. Сходимость решения к точному имеет место и в этом случае, если в пределе (т.е. по мере сгущения сетки) в аппроксимирующих функциях исчезают члены, создающие несовместность. Следовательно, сходимость будет гарантирована, если несовместные конечные элементы, во-первых, способны воспроизвести в пределе ли нейное поле перемещений и, во-вторых, оказываются прн этом совместными. Обычно используют более жесткое требование, в соответствии с которым должна обеспечиваться сплошность тела в условиях линейного поля перемещений при любых размерах элемента, а не только в пределе. [c.214] Выполнение условий групповото теста является достаточным, но ие необходимым условием сходимости [261. Имеются примеры конечных элементов, для которых групповой тест не проходит, но которые тем не менее обеспечивают сходимость решения. Однако обычно конечный элемент считается непригодным к употреблению, если групповой тест для него не проходит. [c.215] Здесь первое слагаемое описывает перемещения в базовом элемент (который предполагается полным и совместным), а второе дает дополнительное поле перемещений, нарушающее совместность конечных элементов в узловых точках перемещения а С обращаются в нуль. Неуэ-ловые степени свободы С выражаются через узловые перемещения V путем минимизации полной энергии конечного элемента (см. 5.5). [c.216] Постоянные С, как уже говорилось, необходимо определить из условия минимума полной энергии элемента. Если при этом они окажутся равными нулю, то это будет означать, что конечные элементы данного типа согласованно воспроизводят линейное поле перемещений и, следовательно, групповой тест будет проходить. [c.216] Таким образом, групповой тест можно заменить проверкой условия, чтобы интегралы, взятые по объему конечного элемента от каждой компоненты матрицы ад, равнялись нулю. [c.217] В случае несовместных элементов уже нельзя ожидать, что полная энергия системы будет всегда выше своего точного значения, Сходимость решения оказывается в этом случае, как правило, немонотонной, т. е. при сгущении сетки полная энергия оказывается то выше, что ниже истинного значения. Нередко несовместные элементы позволяют получить при одинаковой сетке бол1ве точные результаты, нежели совместные. Объясняется это тем, что совместные элементы всегда имеют завышенную жесткость, а введение несовместных функций делает их обычно более податливыми. [c.219] Величина f/ представляет собой то значение, к которому стремится U при уменьшении размеров конечного элемента, и для обеспечения сходимости достаточно потребовать, чтобы она вычислялась точно. Как видно из выражения для U%, для этого необходимо, чтобы используемое правило интегрирования позволяло в пределе точно находить объем конечного элемента. Практически пользуются более простым правилом, в соответствии с которым минимально допустимое число точек интегрирования должно обеспечивать точное вычисление объема конечного элемента при любых его размерах, а не только в пределе. [c.221] Вопрос о точности вычисления объема возникает в том случае, когда интегрирование выполняется в системе координат, отличной от декартовой. Если элемент отнесен к локальной системе координат I, т], 5, то элементарный объем будет равен dx = J dgdridS, где J — якобиан соответствующего преобразования координат. Задача сводится к определению такого правила интегрирования, которое, как минимум, обеспечивает точное вычисление интеграла от J (5, т), Q по координатам I, Т1, I. [c.221] В предыдущих рассуждениях предполагалось, что сгущение сетки сопровождается уменьшением всех размеров конечного элемента. Иная ситуация возникает, когда при конечноэлементной идеализации балки с тонкой стенкой последняя моделируется по высоте одним конечным элементом. Сгущение сетки сводится здесь к уменьшению продольных размеров конечных элементов, в то время как их поперечные размеры, определяемые высотой балки, не зависят от выбора сетки. Естес-ственио, что при этом нельзя даже в пределе прийти к точному (с позиции теории упругости) решению. Задача заключается в получении приближенного результата, соответствующего, скажем, технической теории изгиба бруса. [c.222] С другой стороны, если длина балки значительно превышает ее высоту, то, как известно, ее сечения остаются практически нормальными к изогнутой оси. Естественно потребовать, чтобы с уменьшением высоты балки конечноэлементная модель воспроизводила такое поведение независимо от густоты сетки. TtwibKo в этом случае можно рассчитывать на успех при использовании реальных сеток. [c.223] Если поперечное сечение нормально к оси балки, то это означает, что деформация поперечного сдвига равна нулю (в действительности она может быть несколько отличной от нуля, но ее порядок существенно меньше порядка продольной деформации в крайних волокнах). Следовательно, при корректном моделировании стеики должна быть обеспечена возможность неограниченного уменьшения деформации поперечного сдвига с уменьшением высоты конечного элемента йли что то же са мое, с увеличением его длины при фиксированной высоте. [c.223] Таким образом, при анализе применимости конечного элемента стенки следует оценить его поведение не только при бес-конечном уменьшении (сходимость в обычисми смысле), по и при неограниченном увеличении его длины (сходимость к балочному рещению). [c.223] Основное значение при изгибе балки имеет деформация Вхх- Как видно из первого выражения (6.14), в предельном состоянии изменяется по высоте стенки по линейному закону, что соответствует технической теории изгиба бруса. Помимо Ехх В конечноэлементной модели могут возникнуть постоянная по высоте поперечная деформация (которая обычно игнорируется в теории изгиба бруса) и деформация сдвига Вху, изменяющаяся по высоте по линейному закону. В действительности распределение по высоте является параболическим, но это расхождение с теорией может быть легко исправлено введением корректирующего коэффициента при вычислении матрицы жесткости. Таким образом, данный конечный элемент обнаруживает приемлемое поведение при сгущении сетки. [c.224] предположив, что длина элемента возрастает, исследуем выражение для Вху в (6.13). С увеличением длины доминирующее значение будет приобретать слагаемое f x. Константа /4 характеризует изгибную составляющую деформации гхх в сечении, так что величина Вху будет того же порядка, что и Ехх- Критерий сходимости к балочному решению не выполняется, и поэтому данный элемент, как уже отмечалось в 5.2, практически непригоден для моделирования стенки. [c.224] Так как константа /з + fa не связана с другими деформациями, то в процессе минимизации полной энергии она может принять любое значение, в том числе и сколь угодно малое. Таким образом, критерий сходимости к балочному решению выполняется. [c.225] Заметим, что при одноточечном интегрировании исключается не только слагаемое f x, но также и слагаемое f y. Последнее является посторонним с точки зрения теории изгиба бруса. При конечной длине элемента постоянная /в связана с деформацией ВууИ поэтому слагаемое также дает вклад в ложный сдвиг. Отметим также, что полученная здесь матрица кгв,о полностью совпадает с матрицей (5.30) для конечного элемента с линейным законом распределения напряжений. [c.225] При вычислении вклада деформации сдвига Вху в матрицу жесткости применяется минимально допустимый порядок интегрирования, а для вклада используется более точное интегрирование. Такие элементы будут продемонстрированы в гл. 8. [c.226] Подобный подход оказался весьма плодотворным и при построении эффективных элементов пластин, работающих на изгиб, а также оболочек. Этим вопросам посвящена следующая глава. [c.226] Пластины и оболочки широко применяются в конструкциях летательных аппаратов. Большинство методов их расчета основывается на использовании гипотезы прямых нормалей. В методе конечных элементов такой подход наталкивается на серьезные трудности, связанные с необходимостью обеспечения совместности конечных элементов. Эти трудности можно обойти, если воспользоваться независимой аппроксимацией перемещений и углов поворота нормали. Благодаря этому удается построить семейства конечных элементов изопараметрнческого типа, пригодных для расчета на изгиб пластин или моментных оболочек произвольной конфигурации. [c.227] Вернуться к основной статье