ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критерии сходимости совместных элементов из "Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов " Отметим, что в данной задаче оба элемента дают практически одинаковые результаты. [c.199] Использованные варианты конечноэлементной идеализации панели показаны на рис. 5.21. [c.199] В варианте (а) участок обшивки между соседними поясами моделировался одним слоем прямоугольных элементов, а в варианте (б) — двумя. Число разбиений панели в п1ЮДОльном направлении изменялось от п = 5 до п = 20. [c.199] Представляют собой те значения силы в поясах и нормального напряжения Охх в обшивке, которые возникли бы в поперечном сечении панели при его полном включении в работу (ф = Ei/Eo). [c.200] На рис. 5.25 сплошной линией показано распределение а х в сечении х = 0 штриховая линия соответствует аналитическому решению для бесконечной пластины. [c.201] Схема идеализации кольца представлена на рис. 5.26,в. Как и в предыдущем примере, учитывается двойная симметрия конструкции. Пояса моделируются одномерными элементами, а стенка — плоскими элементами с четырьмя сторонами. [c.202] На рис. 5.27 сплошной линией представлен закон изменения осевой силы N в наружном поясе, найденный аналитически. Штриховые линии получены для модели 2 при = 10 непосредственным вычислением напряжений. Наблюдается сильное колебание значения N относительно истинного решения. [c.203] Максимальное значение N имеет погрешность порядка 30%, хотя погрешность в перемещениях для этой сетки составляет 3,5%. Эти колебания отчетливо проявляются даже при весьма густой сетке. Так, при =40 отклонение максимального значения N от точного решения составляет 2%, в то время как погрешность в перемещениях не превосходит 0,3%. Применение процедуры местного сглаживания, описанной в пре дыдущем параграфе, совместно с осреднением результатов )в узлах, позволяет полностью устранить эти колебания и получить значения N практически с той же погрешностью, что и для перемещений (точки на рис. 5.27). Крестиками на графике даны значения силы N, полученные на модели 3 в случае п = = 10. Как видим, описанный в 5.7 плоский четырехугольный конечный элемент с линейным полем напряжений весьма эффективен при моделировании тонких стенок. [c.204] Интуитивно кажется очевидным, что чем гуще сетка конечных элементов, тем точнее получаемое решение. В действительности такая сходимость приближенного решения к точному имеет место лишь при использовании конечных элементов, удовлетворяющих определенным требованиям. Вариационная трактовка метода конечных элементов дает возможность не только установить эти требования, ио и оценить скорость сходимости решения к точному для различных конечных элементов. [c.204] Всякое упругое тело имеет бесконечно большое число степеней свободы. В методе Ритца деформированное состояние тела определяется выбором нескольких параметров, которые находятся из условия минимума полной энергии и выступают в качестве степеней свободы тела. Ограничение числа степеней свободы равносильно введению дополнительных внутренних связей, что приводит к завышению жесткости тела по сравнению с истинной. То же самое относится и к методу конечных элементов, если используются совместные элементы. В этом случае перемещения, получаемые методом конечных элементов, будут в среднем меньше их точных значений. [c.204] При теоретическом анализе удобнее всего судить о сходимости по величине полной энергии системы. Если в пределе она будет стремиться к своему точному значению, то перемещения, деформации и напряжения также будут стремиться к своим точным значениям в каждой точке тела. [c.205] Обозначим через и матрицу перемещений, найденных методом конечных элементов, а через и — матрицу перемещений, соответствующих точному решению задачи. Так как действительные перемещения и минимизируют полную энергию системы V, то V (и) V (и ). [c.205] Таким образом, для доказательства сходимости конечно- элементной модели достаточно положить узловые перемещения равными их значениям в точном решении и показать, что яри уменьшении размеров конечных элементов полная энергия такой системы будет стремиться к своему точному значению. [c.205] Это разложение можно представить также как сумму f(x) = P (x) + / (x). [c.206] Отсюда видно, что введение в (5.16) функций os (я /2)х X os (ijT]/2) равносильно использованию дополнительных функций типа (1 -г- I ) (1—т. е. оно не сопровождается улучшением сходимости по сравнению с базовым конечным элементом. [c.210] Погрешность аппроксимации деформаций будет иметь порядок по крайней мере V-, т. е. она стремится к нулю при уменьшении разм ов конечного элемента. [c.211] Формулами (6.5) определяется минимальное требование, необходимое для сходимости конечноэлементного решения к точному в случае совместных конечных элементов 126 J. Такша образом, для обеспечения сходимости достаточно, чтобы каждая Компонента перемещения могла быть в пределах конечного элемента представлена полиномом не ниже первой степени. Это требование называют иногда условием полноты конечного элемента. [c.211] Здесь Хг, Уг — координаты узлов я 3г (g, т)) — полиномиальные функции. Суммирование в (6.8) ведется по всем узлам конечного элемента. [c.212] Вернуться к основной статье