ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конечные элементы сплошной среды Плоский треугольный элемент из "Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов " В изложенной выше трактовке в основу метода конечных элементов был положен метод Ритца. Возможны различные модификации метода, которые в тех нли иных частных задачах могут дать более экономичный алгоритм расчета. Рассмотрим один такой вариант, в основе которого лежнт метод Канторовича — Власова (см. 2.6). [c.124] в рассматриваемом подходе осуществляется поэлементная аппроксимация перемещений в плоскости поперечного сечения тела, а основными неизвестными являются функции, зависящие от третьей координаты (перемещения узловых линий). Задача сводится теперь к отысканию этих функций координаты г. Таким образом, мы приходим к конечноэлементной формулировке метода Канторовнча-Власова. [c.125] Заметим, что подчеркнутые члены в подынтегральном выражении равны между собой, поскольку являются скалярными величинами н получаются один нз другого путем транспонирования. [c.127] Здесь V = [vi Vj... Vn) v= v,v2...vnl —матрицы-столбцы, в которых перечислены перемещения и их производные по г для всех узловых линий тела п — общее число узлов). [c.128] Если тело закреплено вдоль некоторых узловых линий, то следует уменьшить размеры всех матриц, фигурирующих в (4.39), оставив в Матрицах v и v лишь перемещения свободных узлов и выделив соответствующие подматрицы в ко, kj и к. Во избежание громоздкости обозначений мы не будем здесь помечать эти уменьшенные в размерах матрицы дополнительным индексом а, как это делалось ранее. [c.128] Матрица Рз содержит компоненты поверхностной нагрузки на боковой поверхности тела, а интегрирование ведется по той части контура поперечного сечения конечного элемента, которая совпадает с контуром, ограничивающим поперечное сечение тела. [c.131] Таким образом, полная энергия системы представлена в виде функционала, зависящего от яеизвестных узловых перемещений v (г) н их производных V (г) по координате z. Функции v (z) должны быть выбраны таким образом, чтобы этот функционал принимал минимальное значение. Для отыскания v (г) можно записать уравнения Эйлера вариационной задачи и прийти, таким образом, к системе дифференциальных уравнений относительно компонент матрицы v (z). [c.131] При этом функции V должны при г = О и z = I принимать заданные значения, либо (если эти функции на концах интервала не заданы) удовлетворять так называемым естественным граничным условиям вариационной задачи, т. е. [c.132] В общем случае на одном илн на обоих концах могут быть известны некоторые из функций v (г). Недостающие условия следует выбирать из числа естественных граничных условий. [c.132] Следовательно, в рассматриваемом методе задачу можно свести к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (4.47) относительно узловых перемещений v (г). При этом перемещения v (z) должны в торцовых сечениях принимать заданные значения либо удовлетворять там естественным граничным условиям (4.48). Для интегрирования системы уравнений (4.47) можно применить различные численные методы [2]. Изложение некоторых методов, используемых в задачах строительной механики, можно иайтн в работе (19]. Рассмотренный выше подход нашел прнмененне, в частности, в задачах нагиба пластин, где он известен под названием метода конечных полос [6]. [c.132] Для решения плоской задачи теории упругости и для расчета трехмерных тел разработано много разнообразных конечных элементов. Основное различие между ними заключается в характере аппроксимации перемещений, а также в способе описания геометрии. Весьма плодотворным является нзопараметрический подход, в котором аппроксимация перемещений и геометрии осуществляется с помощью одних и тех же соотношений. Это позволяет построить одно-, дву- и трехмерные конечные элементы произвольной конфигурации, в том числе криволинейные, обеспечивающие совместность конечиоэлементиой модели. [c.133] Для того чтобы получить матрицу жесткости для случая плоской деформации, следует принять = 1 и заменить в (5.14) модуль упругости Е на Е/(1 — а коэффициент Пуассона ц — на ц/(1 — ц) (см. 1.2). [c.137] Отсюда видно, что в рассматриваемом простейшем случае постоянных объемных сил их равнодействующая поровну распределяется между узлами. В случае, когда объемные силы переменны, можно приближенно воспользоваться этой же формулой, взяв значения и / j, в центре тяжести треугольника. [c.138] Перемещения и и и , определяемые выражениями (5.1), изменяются по линейному закону вдоль любой прямой в плоскости ху, в том числе по сторонам треугольника. Линейная функция полностью определяется какими-либо двумя ее параметрами. Значит, перемещения и Uy на каждой стороне треугольника будут однозначно определены, если известны их значения в узлах, лежащих на соответствующей стороне. Так как узловые перемещения являются общими для соседних элементов, то при переходе от одного элемента к другому перемещения не будут иметь разрыва. Следовательно, треугольные элементы с линейными полем перемещений относятся к категории совместных. [c.138] Вернуться к основной статье