ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационное уравнение Кастнльяно из "Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов " Уравнение (2.17) выражает собой принцип возможных перемещений (принцип виртуальных работ) применительно к упругому телу, согласно которому работа внешних сил на возможных перемещениях равна вариации потенциальной энергии деформации. [c.38] Поскольку / и П вычисляются для равновесного состояния тела, уравнение (2.19) утверждает, что в состоянии равновесия полная энергия системы имеет стационарное значение. Исследуя знак второй вариации 6 1/, можно строго показать, что это стационарное значение является минимумом мы для пояснения данного утверждения ограничимся простыми рассуждениями. [c.38] В самом деле, если тело, находящееся в состоянии устойчивого равновесия, под действием какого-либо внешнего воздействия несколько изменит свою форму, то после устранения этого воздействия оно снова займет первоначальное положение. При возвращении в исходное положение будет совершена работа, т. е. высвободится некоторое количество-по тенциальной энергии. Значит, в соседнем положении тело обладает большей потенциальной энергией, чем в положении устойчивого равновесия. [c.38] Равенство нулю в (2.20) должно выполняться для любых функций бИд., Ьи,,, 8и , образующих матрицу би. Это возможно лишь в том случае, если равны нулю выражения, заключенные в (2.20) в круглые скобки. Отсюда вытекают диф ференцнальные уравнения равновесия (1.4) и статические граничные условия (1.6). Таким образом, если удастся найти перемещения, удовлетворяющие вариационному уравнению Лагранжа (2.19), то при этом автоматически будут удовлетворены уравнения равновесия, а также статические граничные условия. [c.39] Изложенные выше соображения позволяют сформулировать вариационный принцип Лагранжа из всех перемещений, допускаемых наложенными на тело связями, в действительности имеют места такие, при которых полная энергия системы V минимальна. [c.39] В предыдущем параграфе был установлен вариационный принцип для перемещений. Аналогичный принцип можно установить, рассматривай вариации компонент напряжения. [c.39] Пусть для упругого тела известны напряжения а, деформации е и перемещения и, возникающие при действии внешних нагрузок R и р. Напряжения а удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.6). Отметим, что на части (Of, поверхности тела равенство (1.6) дает статические граничные условия, а на Шц оно выражает связь между напряжениями и реакциями на тело со стороны наложенных связей. [c.39] Полученное соотношение выражает собой так называемый принцип дополнительных виртуальных работ. При выводе формулы (2.23) использовались формулы Коши (1.7), следствием которых являются уравнения совместности деформаций (1.10). Таким образом, исходное напряженное состояние неявно предполагалось не только статически возможным, ио и удовлетворяющим уравиеииям совместности. Напряженное состояние, для которого удовлетворяются уравнения совместности деформаций, будем называть совместным. Из урав-иення (2.23) следует, что для совместного напряженного состояния вариация дополнительной энергии деформации равна вариации дополнительной работы внешних сил. [c.41] Вариационное уравнение (2.25) устанавливает, что в действительном (т. е. совместном) напряженном состоянии полная дополнительная энергия системы имеет стационарное значение. Можно показать, что это стационарное значение есть минимум. Таким образом, минимальность V является необходимым условием совместности напряженного состояния. Уравнение (2.25) является также и достаточным условием совместности, т. е. при выполнении равенства бИ О уравнения совместности деформаций будут также удовлетворены. Строгое доказательство этого положения оказывается несколько громоздким, вследствие чего здесь не приводится. [c.42] На основании сказанного выше сформулируем вариационный принцип Кастильян о из веек статически возможных напряженных состояний в действительности имеет место такое, для которого полная дополнительная энергия системы минимальна. [c.42] Таким образом, в этом частном случае из всех статически возможных напряженных состояний в действительности имеет место такое, ДУ1Я которого потенциальная энергия деформации имеет минимальное значение. [c.42] Тогда 6у4 — V, и нз (2.23) имеем tV = 6P v. [c.42] Эти равенства, выражающие так называемую первую теорему Кастильяио, устаиавливают, что перемещение точки приложения некоторой силы Pi в направлении этой силы равно для линейно-упругого тела частной производной от потенциальной энергии деформации по этой силе. [c.43] Вернуться к основной статье