ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационные методы теории упругости Работа внешних сил. Дополнительная работа из "Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов " Существует широкий класс важных в практическом отношении задач, в которых перемещения, деформации и напряжения зависят лишь от двух координат — скажем, х у. Этот класс задач под общим названием плоская задача теории упругости) подразделяется на плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние. [c.20] Если в процессе нагружения все точки тела перемещаются только параллельно одной плоскости (плоскости ху, например), то соответствующее деформированное состояние называется плоской деформацией. Таким образом, для плоской деформации имеем Ux=u (x, у), uy=u,, x, у), и —О. В соответствии с уравнениями Коши (1.7), деформации Ejez и буг оказываются равными нулю, а из закона Гука (1.14) вытекает, что касательные напряжения и Оу также равны нулю. Остальные компоненты деформации и напряжения являются функциями только координат X и у. [c.20] Из закона Гука (1.11) следует, что при обобщенном плоском напряженном состоянии деформации сдвига = е г = О, а остальные компоненты деформации представляются как функции только координат хну. [c.21] Отметим, что в случае плоской деформации нормальное напряженпе 02г отлично от нуля, но оно не имеет самостоятельного значе)шя, поскольку выражается через Одд. и о. по формуле а,, = + Оуу). [c.22] Помимо равенства (1.26) должны быть удовлетворены еще граничные условия (1Л9) на боковой поверхности. [c.23] Зависимости (1.31), (1.32), определяющие упругое поведение конструктивно-ортотропной пластины, выведены в предположении об однородности деформированного состояния, но ими можно приближенно пользоваться и в случае переменного поля деформации. [c.25] Найдем еще связь между напряжениями а = и деформациями г xx vv xv) произвольных осях х, у (рис. 1.3, а). Пусть ось I составляет с осью л угол 0, который будем считать положительным, если поворот оси х до совмещения с положительным направлением необходимо выполнить против часовой стрелки. [c.25] Вариационные принципы теории упругости позволяют свести проблему определения напряженно-деформированного состояния тела к эадкче отыскания минимума того или иного функционала. На этом основаны различные прикладные методы расчета, в которых удается получить приближенное решение задачи, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений теории упругости. Вариационные принципы составляют теоретический фундамент н метода конечных элементов, позволяя, в частности, обосновать его сходимость к точному решению. [c.27] Здесь Vi есть проекция полного перемещения Д,- (рис. 2.1) точки приложения силы Я,- на направление этой силы. [c.27] Полученный результат выражает теорему Клапейрона, согласно которой работа, произведенная внешними силами при статическом деформировании линейно-упругого тела, равна полусумме произведений окончательных значений сил на окончательные значения соответствующих им перемещений. [c.29] Здесь первый интеграл берется по всему объему, а второй — по поверхности рассматриваемого тела. [c.29] В дальнейшем нам потребуется выражение для приращения, которое получает работа А при возрастании сил от Р до Р + бР, где через SP = 6Pj. .. обозначена матрица произвольных бесконечно малых приращений внешних сил. Соатветствующие приращения перемещений определяются матрицей 6v = Swj Sug . [c.29] Для всей системы сил получаем отсюда ДЛ = У ДЛ,-бу Р-V — 6v бР. [c.29] Формула для б/1 выведена в предположении, что R и р получили приращения 6R и бр, а матрица би определяет действительные приращения перемещений, которые соответствуют такому возрастанию внешних нагрузок. Однако вариации сил 6R и 6р в эту формулу не вошли, поэтому при вычислении ЬА внегиние нагрузки можно считать вообще неизменными, понимая при этом под элементами матрицы би некоторую произвольную систему бесконечно малых перемещений. [c.30] Такие бесконечно малые перемещения би, которые удовлетворяют лишь требованию непрерывности внутри тела и согласуются с наложенными на него связями, называются возможными (иногда их называют также виртуальными). Любые возможные перемещения можно было бы действительно создать, прикладывая к телу, закрепленному заданным образом, некоторую систему бесконечно малых нагрузок, но связывать их с действительными приращениями внешних сил нет необходимости. [c.30] Из сказанного следует, что величину бЛ можно трактовать не только как вариацию действительной работы Л, но и как работу внешних сил на возможных перемещениях. Поэтому иногда бЛ называют возможной (или виртуальной) работой внешних сил. [c.30] Рассмотрим теперь площадь слева от диаграммы Р — и эта площадь на рис. 2.2 заштрихована горизонтально. Обозначим ее через Ai и назовем дополнительной работой силы Я на перемещении VI. Хотя эта величина и не имеет физического смысла, она окажется в дальнейшем весьма полезной для формулирования некоторых важных теорем. В рассматриваемом случае линейно-упругого тела дополнительная работа Ai численно совпадает с действительной работой. Ai, но между ними все же остается принципиальное различие, вытекающее нз самого определения этих величин. [c.31] Вернуться к основной статье