ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК Уравнения теории оболочек в координатах, отнесенных к линиям кривизны из "Линейная теория тонких оболочек " В главе последовательно выводятся все уравнения линейной теории упругих тонких оболочек на основе единого подхода, свя-ванного с пренебрежением слагаемыми порядка A/J o по сравнению с единицей, что соответствует (как было установлено в работах 1122,123]) погрешности исходных допущений — гипотез Кирхгофа (см. введение, допущения kw kk). При этом замечено, что геометрическое допущение (k) нуждается в некотором уточнении, а именно следует пренебрегать сдвигами е , не вообще (что в соответствии с законом Гука привело бы к пренебрежению перерезывающими силами Гщ, Tgn), а лишь при вычислении деформаций параллельной поверхности. [c.15] В трех последних разделах главы обсуждаются дополнительные допущения, основанные на характерных свойствах срединной поверхности, присущих некоторым классам оболочек (нулевая гауссова кривизна, пологость), или на свойствах напряженно-деформироваиного состояния (малая изменяемость, большая изменяемость в одном или двух направлениях). Эти (вторичные) допущения используются для упрощения разрешающих уравнений, выведенных с использованием гипотез Кирхгофа, или для построения приближенных решений (безмоментное решение, краевой эффект). [c.15] Придавая в (1.1) параметру р ряд постоянных значений и меняя при этом а, получим семейство кривых, которое назовем координатными линиями а (или а-линиями). Аналогично можно получить р-линии. [c.16] Следовательно, всякая точка поверхности может рассматриваться как пересечение некоторых -линии и р-линии (рис. 1.1). [c.16] В качестве третьего единичного вектора будем рассматривать вектор п =евХер/ ев X eg , перпендикулярный к первым двум (символом X здесь и ниже обозначаем векторное произведение). [c.16] Выражение, стоящее в правой части формулы (1.6), называют первой квадратичной формой поверхности. В курсах дифференциальной геометрии (см., например, [59]) доказывается, что первая квадратичная форма не изменяется при изгибании поверхности без растяжения. В дальнейшем в данной книге рассматриваются исключительно ортогональные системы координат, для которых os й = О (п = баХбр). [c.16] Отсюда, в частности, видно, что величины l/Ra и 1/ р являются нормальными кривизнами поверхности в направлении координатных линий. [c.18] Но это соотношение равно нулю на основании (1.20). Таким образом, показано, что для экстремальных направлений величина l/i o,o. равна нулю. Найденные направления называются главными, а величины R = Яг — Ra, — главными радиусами кривизны. Линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, называются линиями главной кривизны или просто линиями кривизны. [c.19] Очевидно аналогичное утверждение и для а,-линии. Это свойство линий кривизны установлено в теории поверхностей известной теоремой Родрига. [c.21] Заметим, что в первой части книги будут рассматриваться исключительно ортогональные координаты, связанные с линиями кривизны срединной поверхности. [c.21] Равенства (1.25) называют условиями Кодацци. [c.22] Заметим в заключение, что параметр К = l/RiRi называют гауссовой кривизной поверхности. Прн этом точки поверхности подразделяются на эллиптические (К 0), параболические (К = 0) и гиперболические (К 0). Поверхность, все точки которой эллиптические, называют поверхностью положительной гауссовой кривизны. Если же все точки параболические, то говорят, что поверхность имеет нулевую гауссову кривизну. Если же все точки гиперболические, то соответствующая поверхность имеет отрицательную гауссову кривизну. [c.22] В теории поверхностей доказывается, что возможность изгибания поверхностей без растяжения тесно связана со знаком гауссовой кривизны. Условия, при которых свобода изгибания исключается, будут различными для поверхностей положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. [c.22] Приведенных сведений из теории поверхностей достаточно для изложения классической теории оболочек. [c.22] Таким образом, в качестве криволинейных координат деформированной поверхности можно рассматривать все те же ai и osj, однако соответствующие им координатные линии, вообще говоря, уже не будут линиями кривизны и даже не будут ортогональными. [c.23] Вычислим параметры Ламе для деформированной поверхности г = г (а , а,). При этом и всюду впредь будем пренебрегать произведениями перемещений и их производных, как величинами второго порядка малости, поскольку в данной книге рассматривается лишь линейный вариант теории оболочек. [c.24] Для выяснения геометрического смысла параметров О,, (Oi и Юд рассмотрим последовательно три частных случая деформирования. [c.24] Вернуться к основной статье