ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Консистентные переменРеологическая задача Ньютона из "Деформация и течение Введение в реологию " Следует помнить, что Q представляет собой объем жидкости в единицу времени и что у большинства капиллярных приборов объем, проходящий через капилляр, есть величина постоянная, а измеряется время t, необходимое для прохождения постоянного объема через капилляр. [c.37] Вращательное ламинарное течение было первой реологической задачей, решенной теоретически. Воспроизведем попытки решения Ньютона, пользуясь современным математическим языком, имея в виду не только исторический интерес этого решения. В своих расчетах великий математик и физик сделал ошибку, и эта ошибка поучительна. [c.37] Цилиндр принимается бесконечно длинным, чтобы условия течения были одинаковы в каждом сечении, нормальном к оси цилиндра, и тогда задача становится двумерной или, точнее, осуществляется плоская деформация, т. е. скорость не имеет составляющей в направлении оси z (если принять ось цилиндра за ось z), а компоненты скорости по осям X ж у яе зависят от z. Если бы цилиндр был конечным, то это было бы не так, так как распределение скоростей обязательно было бы различным в сечениях, близких к торцу цилиндра, одно из которых проходит через цилиндр, а другое нет. [c.37] Следует сделать второе замечание по формулировке задачи Ньютона. Когда цилиндр находится в покое, а затем приводится в равномерное врап1 ение, то частицы жидкости вблизи поверхности цилиндра вынуждены принимать участие во враш,ении цилиндра, а они, в свою очередь, из-за недостаточного проскальзывания , или, как мы сказали бы теперь, из-за вязкости, приводят в движение частицы жидкости, более удаленные от цилиндра. Это будет продолжаться до тех пор, пока все более и более удаленные частицы жидкости не придут в движение. На это, конечно, требуется время, и если жидкость занимает неограниченное пространство, то потребуется очень большой промежуток времени, пока враш,ение цилиндра скажется на отдаленных частицах жидкости. Это означает, что потребовалось бы бесконечно большое время для того, чтобы любая частица жидкости сохраняла бы свое равномерное движение . Однако на практике, после достаточно короткого промежутка времени, движение частиц жидкости, находящихся вблизи цилиндра, становится равномерным, а так как жидкость на бесконечности будет естественно оставаться в покое, то движение значительно удаленных частиц не будет иметь значения. [c.38] Доказательство Ньютона состоит в следуюш ем ...Пусть жидкость разделена на бесчисленное множество жестких концентрических цилиндрических слоев одинаковой толш ин ы . Жесткие цилиндрические слои означают, что движение предполагается ламинарным , причем цилиндрические слои движутся как жесткое целое. [c.38] Продолжаем цитирование ...или пропорциональна относительной скорости и обратно пропорциональна расстоянию, тогда, комбинируя отношения, получим, что относительная угловая скорость обратно пропорциональна квадрату расстоя ни я . [c.40] Термин скорость сдвига объяснен в следующем параграфе 6. [c.40] Но гордое что и требовалось доказать не делает результат верным. Заметил ли читатель место, где Ньютон допустил ошибку Если нет, то успокоим его тем, что эта ошибка была обнаружена только 150 лет спустя Стоксом. Он отмечает Эти случаи движения были рассмотрены Ньютоном. .., но он пришел к заключению, что скорость (I e = г со) постоянна, а не к тому, что она изменяется обратно пропорционально расстоянию . Это является результатом того, что Ньютон за условие равномерности движения цилиндрических слоев жидкости принял условие, что сила, стремящаяся повернуть слой в одном направлении, должна быть равна силе, которая стремится повернуть его в другом направлении между тем правильное условие состоит в том, что момент силы, стремящейся повернуть его в одном направлении, должен быть равен моменту силы, стремящейся повернуть его в противоположном направлении. Конечно, внеся это изменение в рассуждения Ньютона, легко получить вышеупомянутый результат Стокса. [c.41] Короче говоря, Ньютон забыл об уравнении (I, в) и ошибочно применил уравнение (I, г). Момент, действующий на каждый слой, равен т]Сг2л г1 на вогнутой части и т] (G dG) 2 л(г -f dr) I на выпуклой части. Разность равна т] 2л I r dG +2 Grdr), если пренебречь членами высшего порядка малости. [c.41] Вернуться к основной статье