ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость состояния равновесия из "Введение в аналитическую механику " Практически этому условию соответствуют два положения равновесия нижнее при 0 = О и верхнее при 0 = п. Для положения равновесия при 0 = 0 характерно то, что при сообщении маятнику достаточно малого отклонения от этого положения равновесия и достаточно малой скорости он будет совершать движения вблизи состояния равновесия. Для состояния же равновесия при 8 = я при сколь угодно малых отклонениях маятника от него и при сколь угодно малой начальной скорости маятник будет удаляться от этого положения равновесия. [c.41] Положения равновесия материальной системы, для которых небольшие отклонения от этих положений раз-новесия и небольшие начальные скорости точек системы не приводят к выходу материальной системы из достаточно малой окрестности положения равновесия, называются устойчивыми. [c.41] Если же сколь угодно малые отклонения системы от положения равновесия и сколь угодно малые начальные скорости, приводят к возрастающему отклонению материальной системы от положения равновесия, то это положение равновесия называется неустойчивым. [c.41] УбГойчивым положением равновесия системы называется такое ее положение, когда при достаточно малом начальном отклонении от него и при достаточно малых начальных скоростях все точки системы, имея сколь угодно малые скорости, будут двигаться так, что все они не уйдут от своего равновесного положения далее наперед заданного расстояния, как бы оно мало ни было. [c.42] Приведем теперь достаточный признак устойчивости положения равновесия материальной системы в консервативном силовом поле, даваемый теоремой Лагранжа — Дирихле. [c.42] Отметим, что минимум потенциальной энергии обеспечивает выполнение условий равновесия (2.10), так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. [c.42] Если заданными силами, действующими на систему с идеальными связями, будут только силы тяжести, то из теоремы Лагранжа — Дирихле следует если центр тяжести системы занимает наинизшее положение, то это положение будет устойчивым положением равновесия (принцип Торичелли). [c.42] СОСТОЯНИЯ равновесия становится очень сложной задачей. [c.43] Приведем формулировку одной из теорем Ляпунова если отсутствие минимума потенциальной энергии П в исследуемом положении равновесия обнаруживается уже по членам второго порядка или вообш е по членам наименьшего порядка) в разложении функции Л qi, 72,, Qs) в ряд Тейлора, то равновесие неустойчиво. [c.43] Пример 19. Невесомый стержень ОА длины а может свободно вращаться вокруг точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен невесомый стержень АВ длины а, на другом конце которого закреплен груз В массы т. Точка О и Рис. 2.7. [c.45] при mg са, потенциальная энергия экстремума не имеет. [c.47] Поскольку Л 0. то состояние равновесия рг = я, 2 = я неустойчиво. [c.47] Вернуться к основной статье